第2课时三角形的外角9.2三角形的内角和外角第九章三角形 情境引入学习目标1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（重点）4.会利用三角形的外角性质解决问题. 导入新课复习引入1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48°三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180°.2.如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,则∠ACB=，∠ACD=.ABCD50°130° BDCAO●40°70°？●●●问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO●40°70°？●●●由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 讲授新课三角形的外角的概念一定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD 问题1如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ ABC画一画画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD每一个三角形都有6个外角．总结归纳 FABCDE如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.练一练 三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质二问题1如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补. 问题2如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A，（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论 如图，试比较∠2、∠1的大小；如图，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图图解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.想一想 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.ABCD∠B+∠C=∠CAD∠CAD>∠B，∠CAD>∠C归纳总结三角形外角的性质 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130° 例1如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB典例精析 例2如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求(1)∠B的度数；ACDEB解：(1)在△ABC中，∵∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BCD=92°，∠A=27°，(已知)∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°； (2)在△BEF中，∵∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BED=44°(已知)，∠B=65°，(已知)∴∠BFD=44°+65°=109°.ACDEB(2)∠BFD的度数； 例3如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E 解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. ABCD((20°30°解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.E))12)3)4你发现了什么结论？ ABCD(((51°20°30°E)1解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结 三角形的分类二互动探究1.填空（1）一个三角形最多有个直角，因为；（2）一个三角形最多有个钝角，因为；（3）一个三角形至少有个锐角，因为.112三角形内角和等于180°三角形内角和等于180°三角形内角和等于180° 问题：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？锐角三角形直角三角形钝角三角形.三个内角都是锐角的三角形有一个内角是直角的三角形有一个内角是钝角的三角形 知识要点锐角三角形直角三角形钝角三角形按是否有边相等分按内角大小分三角形三角形的分类三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形 1.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（　　）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2.已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（　　）A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能确定BB当堂练习 3.如图，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A 4.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.ABCDE△ADE△ADC解：根据三角形外角的性质有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°. 解：因为∠ADC是△ABD的外角.5.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180º-40º-70º=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，ABCD ABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º.6.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.能力提升： 123BACPNMDEF7.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.360° 课堂小结三角形的外角三角形外角的性质三角形的分类三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.按边分类按角分类等腰三角形不等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形