第九章三角形9.3三角形的角平分线、中线和高 1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高;（重点）2.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力;（难点）学习目标 复习回顾导入新课定义图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？情境引入 三角形的角平分线一问题1如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC问题2你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?ABCD讲授新课合作探究 知识要点12三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.ABCD∠1=∠2，AD是△ABC的角平分线.思考：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是：∠1=∠2;不同点是：前者是线段，后者是射线. 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三条角平分线交于一点．ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3 思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三角形的三条角平分线交于一点．称之为三角形的内心．（后面学到） 例1：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,典例精析∴∠AED=∠ACB=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=∠ACB. 三角形的中线二问题1如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB问题2如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下.ABCD BCA三角形的中线∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC.连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.DA知识归纳 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO 三角形的高三问题1什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 高的叙述方法（如图）：有三种.②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD 锐角三角形的三条高问题1每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O问题2锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究交流 直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;AB直角边AB边上的高是;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.BD●直角三角形的三条高交于直角顶点. ABCDEF钝角三角形的三条高问题：(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？O钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点 三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部归纳总结 典例精析例2：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知,AD·BC＝BP·AC.代入数值，可解得BP＝. 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.方法总结 例3：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4. 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 当堂练习1．下列说法正确的是（　　）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（　　）A．①②B．③④C．①④D．②③D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　）A．2条B．3条C．4条D．5条4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD 5.填空：（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.图①图②AFDC∠22∠4AC∠ABC 6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=______.12cm2 7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD.∵BC-AC=5cm,∴△DBC与△ADC的周长差是5cm,又∵△DBC的周长为25cm，∴△ADC的周长=25-5=20(cm). 8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=∠BAC=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.ABCDE 能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.） 课堂小结三角形的角平分线、中线和高高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线