小结与复习第九章三角形 腰和底不等的等腰三角形等边三角形要点梳理2.三角形的三边关系3.三角形的分类三角形的任意两边之和大于第三边按边分不等边三角形等腰三角形一、三角形1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所构成的图形叫做三角形.以点A，B，C为定点的三角形记为______，读作“三角形ABC”.顺次相接△ABC 4.三角形的内角和与外角(1)三角形的内角和等于______.(3)三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的和，并且大于与它_______的任何一个内角.直角三角形锐角三角形钝角三角形按角分180°不相邻不相邻(2)三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的______.外角 1.三角形的高：三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.三、三角形的高、中线、角平分线：2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．表示法：①AD是△ABC的边BC上的中线；②BD=DC=BC. 3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.12表示法：①AD是△ABC中∠BAC的平分线.②∠1=∠2=∠BAC.4.三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的______.重心 考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8-3<a<8+3,所以5<a<11.又因为第三边长为奇数,所以第三条边长为7cm或9cm.考点讲练【分析】根据三角形的三边关系满足8-3<a<8+3解答即可. 1.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是．24方法归纳等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.针对训练 考点二三角形的内角和例2如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°-∠A-∠B＝180°-50°-70°＝60°因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°-∠B-∠BCD＝180°-70°-30°＝80°. 2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B=.90°针对训练 考点三三角形的外角及其性质例3如图：在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3.(1)试说明：∠BAC＝∠DEF；解：(1)在△ACE中，∠DEF＝∠3＋∠CAE，因为∠1＝∠3，所以∠DEF＝∠1＋∠CAE＝∠BAC，即∠BAC＝∠DEF； (2)若∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC度数．(2)在△BCF中，∠DFE＝∠2＋∠BCF，因为∠2＝∠3，所以∠DFE＝∠3＋∠BCF，即∠DFE＝∠ACB.因为∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，所以在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－70°－50°＝60°. 3.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.针对训练证明：因为∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，所以∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.因为在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 考点四三角形的角平分线、中线、高例4如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝AC，因为S△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.因为EC＝2BE，S△ABC＝12，所以S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2 方法归纳三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 4.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是，∠FBC的度数是.5.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是.ABCEFABCDEO20°40°84°针对训练 考点五本章中的思想方法方程思想例5如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD))))2413解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，x+2x+2x=180°,得x=36°,所以∠1=36°. 方法归纳在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解. 分类讨论思想例6已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是．解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22 化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图. 三角形有关概念三角形内角和定理内角与外角的关系三角形及其顶点、边、角三边之间的关系性质三角形的角平分线、中线、高三角形的分类课堂小结