4.1平面上两条直线的位置关系第4章相交线与平行线4.1.2相交直线所成的角 学习目标1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念；2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点） 直线与直线相交于一点，并形成了四个角.你发现了什么？导入新课图片引入 活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.讲授新课对顶角的概念一 1234ABCDO对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.反向延长线∠3概念学习 例1下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）12C12DD12A12B方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．典例精析 www.youyi100.com猜想：对顶角相等COABD4321问题：∠1与∠3在数量上又有什么关系呢？对顶角的性质二思考：你能利用有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗？在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°. OABCD4321已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3，∠2=∠4.解：∵直线AB与CD相交于O点,∴∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.应用格式：∵直线AB与CD相交于O点∴∠1=∠3. 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？对顶角相等 ∴∠2=180°－∠1=140°,ab）（1342）（例2如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.∵∠3=∠1,∠1=40°,∴∠3=40°,解:∴∠4=∠2=140°.掌握对顶角的性质是解题的关键!方法 3.若1:2=2:7，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度数分别为________________________2.若∠2是∠1的3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度数分别为________________________1.若∠1+∠3=60º，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度数分别为________________________30º、150º、30º、150º45º、135º、45º、135º40º、140º、40º、140º变式训练： 例3如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．注意：隐含条件“对顶角相等”. 1.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°找出图中与∠1相等的角.DBEOACF解：∵∠1=∠3（对顶角相等）12345687∠5+∠8=180°且∠1+∠5=180°∴∠8=∠1∵∠8=∠6（对顶角相等）∴∠6=∠1.变式训练： 2.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出图中与∠2互补的角.FNCEABDM12345867解：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠2的补角有∠1和∠3∵∠5+∠8=180°，∠5+∠6=180°且∠2=∠5∴∠2的补角有∠6和∠8 6758简称“三线八角”若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？有什么特点？BAFECD4312交流与合作同位角、内错角、同旁内角三 F活动1观察∠1与∠5的位置关系：①在直线EF的同旁（右边）②在直线AB、CD的同一侧（上方）ACBDE1234567815∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8图中的同位角还有哪些？同位角一、同位角的概念 AA.(1)，(2)B.(3)，(4)C.(1)，(2)，(3)D.(2)，(3)，(3)例4：下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（）12121212（1）（2）（3）（4） 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.12121212归纳总结 ACBDEF12345678活动2观察∠3与∠5的位置关系：①在直线EF的两侧②在直线AB、CD之间35∠4和∠6图中的内错角还有哪些？内错角二、内错角的概念 例5：如图，与∠1是内错角的是（)13245A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5B 变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.12111222归纳总结 ACBDEF12345678活动3观察∠4与∠5的位置关系①在直线EF的同旁②在直线AB、CD之间45∠3和∠6图中还有哪些同旁内角？同旁内角三、同旁内角的概念 例6：下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（）11ABCD122212A 变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.11112222归纳总结 FZU截线:同侧被截线:同旁截线:同侧被截线:之间截线:两侧被截线:之间121212都在截线同侧都在被截线之间这三类角都是没有公共顶点的.总结归纳 例7如图，直线DE截AB，AC，构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.解：两条直线是AB，AC，截线是DE，所以8个角中，同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8,∠6和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.变式：∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角?它们是什么关系的角?∠A与∠5呢?∠A与∠6呢?EDCBA87654321典例精析 练一练：识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角12(1)同位角12(2)12(3)12(4)12(5)12(6)12(7)12(8)1212(9)(10)同位角同位角同位角同位角内错角同旁内角 例8如图，直线DE,BC被直线AB所截.（1）∠1与∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？4321FEDCBA解：（1）∠1与∠2是内错角，∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是同旁内角.温馨提示：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截. 解：(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，又因为∠1=∠4,所以∠4+∠3=180°,即∠1与∠3互补.4321FEDCBA（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？为什么？ 1.下列各图中，∠1，∠2是对顶角吗？()12()12()21当堂练习不是是不是 2.如图，∠DAB和∠ABC的位置关系是（）A.同位角B.同旁内角C.内错角D.以上结论都不对3.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（）CDADBCE 4.如图,直线AB，CD，EF相交于点O.(1)写出∠AOC,∠BOE的补角；(2)写出∠DOA,∠EOC的对顶角；(3)如果∠AOC=50°,求∠BOD，∠COB的度数.AEDBFCO解:(1)∠AOC的补角是∠AOD和∠COB;∠BOE的补角是∠EOA和∠BOF.(2)∠DOA的对顶角是∠COB;∠EOC的对顶角是∠DOF.(3)∠BOD=∠AOC=50°;∠COB=180°-∠AOC=130°. （1）如图1,若ED,BF被AB所截,则∠1与____是同位角.5.看图填空：∠2（2）如图2,若ED,BC被AF所截,则∠3与___是内错角.∠4图1图2 (3)如图3,∠1与∠3是AB和AF被_____所截构成的角；DE内错(4)如图4,∠2与∠4是和被BC所截构成的____角.ABAF同位图3图4 6.如图,直线AB,CD相交于点O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.ABCDEO解：∵OA平分∠EOC,∴∠AOC=∠EOC=35°,∴∠BOD=∠AOC=35°. 7.根据地图显示填空：学校与游乐场所在的角形成一对（　　　）角学校与超市所在的角形成一对（　　　　）角学校与飞机场所在的角形成一对（　　　）角同位同旁内内错 拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图a，图中共有对对顶角；⑵如图b，图中共有对对顶角；⑶如图c，图中共有对对顶角；⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；⑸若有10条直线相交于一点，则可形成对对顶角.图a图b图c2612n(n-1)90 生活中的数学：三线八角手势记忆法同位角内错角同旁内角 视频：寻找对顶角 视频：三线八角微课 课堂小结相交线所成的角对顶角对顶角相等三线八角同位角、内错角、同旁内角