11.1因式分解第十一章因式分解 学习目标1.理解因式分解的意义和概念;2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点） 问题16等于2乘哪个整数？6＝2×3问题2x2－1等于x+1乘哪个多项式？导入新课回顾与思考 1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x-1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2讲授新课因式分解一合作探究2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+1x-1a+b都是多项式化为几个整式的积的形式 对于整数6与2，有整数3使得6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一个因数．对于多项式，有多项式x－1使得，我们把x+1叫作x2－1的一个因式，同理，x－1也是x2－1的一个因式． 定义：像这样，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.概念学习一般地，对于两个多项f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式． x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即 典例精析例1下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有，不是的，请说明为什么？①②③④⑤⑥③⑥辨一辨：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x·8xyx2-1=(x+1)(x-1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式，是整式乘法每个因式必须是整式 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，砖是基本建筑块之一.在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． ①②有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得例如同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 例2检验下列因式分解是否正确？(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1);(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).用什么方法检验因式分解是否正确呢？分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等. 解：(1)因为xy(x-y)=x2y-xy2，所以因式分解x2y-xy2=xy(x-y)正确；(2)因为(2x+1)(2x-1)=4x2-1,所以因式分解2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误；(3)因为(x+1)(x+2)=x2+3x+2，所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1)D.ax+by+c=x(a+b)+cE.2a3b=a2•2abF.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9√×××××提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式.(3)右边的因式全是整式. 例3若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）=ax2+ax-6a.所以a=1，b=﹣6a=﹣6，典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 练一练：把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为．解析：由题意可得x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5．解得n=1，m=，m+n=1+=. 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　）A．x2﹣y2B．﹣x2+y2C．x2+y2D．﹣x2﹣y2B练一练 x2-y29-25x2x2+2x+1xy-y2(x+1)2y(x-y)(3-5x)(3+5x)(x+y)(x-y)1.连线：当堂练习 2.把下列多项式因式分解：3.求4，6，14的最大公因数.4=1×2×26=1×2×314=1×2×7最大公因数是2 4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解 5.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b比较系数得2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.所以mn=﹣5×20=﹣100． 6.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，所以b=9，因此a+b=15． aabba–ba+ba2–b2=（a+b)（a–b）7.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ 课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.其中，每个整式叫做这个多项式的_______.与多项式乘法运算的关系的变形过程.前者是把一个多项式化为几个整式的_____.，后者是把几个整式的______化为一个_________.积分解因式因式相反多项式乘积乘积