第1课时平方差公式11.3公式法第十一章因式分解 学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点） 导入新课a米b米b米a米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式： √√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1) 例1分解因式：aabb(+)(-)a2-b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式ab典例精析 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.方法总结 练一练把下列各式分解因式：(1)4x2-9y2；(2)(3m-1)2-9(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).解：(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y).方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解. 当场编题，考考你！))((22bababa-+=-20152－20142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2= 例2把下列各式分解因式：(1)a3-16a；(2)2ab3-2ab.解：(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4)(2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解. 练一练分解因式：解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.＝(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式＝ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a-1). 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．方法总结 分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.针对训练＝(a＋2b)(a－2b－1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；解：(1)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例3已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x－y＝－2②.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得 在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.方法总结 练一练：已知：a2-b2=21,a-b=3，求代数式(a-3b)2的值.解：因为a-b=3，所以(a+b)(a-b)=21，所以a+b=7由a-b=3和a+b=7解得a=5,b=2所以(a-3b)2=(5-3×2)2=1. 例4计算下列各题：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4(53.52－46.52)=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9当堂练习D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（　　）A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）A．-21B．21C．-10D．10A 4.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=_________________;(2)(a+b)2-(a-b)2=_________________;(3)9xy3-36x3y=_________________;(4)-a4+16=_________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.4 6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时， 7.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2. 8.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)因为992-1=(99+1)(99-1)=100×98，所以，(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？所以992-1能否被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 课堂小结平方差公式分解多项式平方差公式：a2-b2=()()多项式的特征每一项都是整式的______.注意事项有公因式时，应先提出_______.进行到每一个多项式都不能再分解为止.公因式a+ba-b可化为____个整式.两项符号_______.两相反平方