小结与复习第十一章因式分解 一、因式分解要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________.2.因式分解的过程和的过程正好____．3.前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.因式分解乘积分解因式整式乘法相反多项式乘积乘积 二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的________，简称多项式的________.2.公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的___；(2)字母：多项式各项的字母；(3)各字母指数：取次数最__的．公因式公因式最大公约数相同最低 3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把_______写在括号外边，作为积的一个_____，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式 三、公式法——平方差公式1.因式分解中的平方差公式a2－b2＝；2.多项式的特征：(1)可化为个____整式；(2)两项负号______；(3)每一项都是整式的______.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;(2)进行到每一个多项式都不能再分解为止.(a＋b)(a－b)两相反平方 四、公式法——完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2a2-2ab+b2=()22.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号_____,能写成两个整式的_________的形式；(3)另一项是这两整式的______的_____倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.a+ba-b相同平方和乘积2公因式 考点一因式分解与整式乘法的关系例1判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练不是不是是不是 考点二提公因式法分解因式例2因式分解：(1)8a3b5＋12a2b3c；(2)2a(b＋2c)+3(b＋2c)；(3)(a＋b)(a－b)－a+b.解：(1)原式＝4a2b3(2ab2＋3c)；(2)原式＝(2a+3)(b＋2c)；(3)原式＝(a－b)(a+b－1)．方法归纳公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 1.把下列多项式分解因式.针对训练 例3计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.考点三利用提公因式法求值解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 2.已知a-b＝7，ab＝-5，求a2b-ab2的值．解：因为a-b＝7，ab＝-5，所以原式＝ab(a-b)＝-5×7＝-35.针对训练方法归纳原式提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算即可得出答案． 考点四平方差公式分解因式例4分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)． 3.已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．解：因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，所以x－y＝－2.针对训练 4.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2. 考点五完全平方公式分解因式例5因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 5.已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．解：a3b＋a2b2＋1/2ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125. 因式分解定义提公因式法公式法平方差公式完全平方公式课堂小结