专题22　直线、射线与线段（录入：王云峰）阅读与思考构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：1．直线、射线、线段的区别与联系．2．线段中点的概念．3．枚举法、分类讨论法．例题与求解【例1】已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）解题思路：未给出图形，注意C点位置有多种可能．【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（　　）A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点CC．只是线段AD的中点D．有无穷多个（全国初中数学联赛试题）解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A，B，C，D的距离，从直观的图形中作出判断．10【例3】如图，C是线段上的一点，D是BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将每一条线段用AC或BC来表示，依题意可列一个关于AC，BC的方程，讨论此不定方程的正整数解．【例4】如图所示，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝，CE＝，＝0，求，．（2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE的长．（3）如图②，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE的长．图①图②（湖北省武汉市调考试题）解题思路：将几何问题代数化，对于（3），引入未知数，列方程求解．【例5】（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系．（山东省聊城市中考试题）解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．10【例6】已知线段AB＝，CD＝，线段CD在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若与互为相反数．（1）求线段AB，CD的长．（2）M，N分别是线段AC，BD的中点，若BC＝4，求MN．（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值；②是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值．（浙江省宁波市中考试题改编）解题思路：（1）与的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可能等于一个负数的，所以＝6，＝12．（2）需要分类讨论：如图①，当点C在点B左侧时，根据“M，N分别为线段AC，BD的中点”，先计算出AM，DN的长度，然后计算MN＝ADAMDN；如图②，当点C位于点B右侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．（3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．能力训练A级1．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E，F分别为线段ｏA，OB的中点，则线段EF的长度为＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）2．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于＿＿＿厘米．（“希望杯”邀请赛试题）3．如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．10（《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题）4．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）5．直线，，，，共点O，直线与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述图形中共有线段（　　）条．A．4B．5C．10D．156．如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，则只需条件（　　）A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝2（海南省竞赛试题）7．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝，BC＝则AD＝（　　）A．B．C．D．8．如图，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（　　）A．B．C．D．9．已知线段AB＝6．（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（2）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点；第二种是线段AB的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（湖北省武汉市武昌区期末调考试题）1010．已知AB＝60cm，点C是直线AB上不同于A，B的点，M为AC中点，N是BC中点，求MN的长度．11．如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．（1）求点A，B对应的数；（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，设运动时间（＞0）．①求点M，N对应的数（用含的式子表示）．②为何值时，OM＝2BN？B级1．把线段AB延长至D，使BD＝AB，再延长BA至C，使CA＝AB，则BC是CD的＿＿＿＿倍．2．如图，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中点M与CD的中点N的距离是3厘米，则BC＝＿＿＿＿厘米．3．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）4．如图，已知B，C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝，BC＝，则线段AD＝＿＿＿＿．5．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数，，都不为0，且C是AB的中点．如果＝0，那么原点O的位置在（　　）A．线段AC上B．线段CA的延长线上C．线段BC上D．线段CB的延长线上10（江苏省竞赛试题）6．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN︰PQ等于（　　）A．1B．2C．3D．47．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（　　）A．6条B．1条或3条或6条C．1条或4条D．1条或4条或6条8．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A，B，C，D，E，F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（　　）A．A处B．C处C．G处D．E处城市（江苏省竞赛试题）9．电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点，且BP3＝BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P2001，请计算P0与P2001之间的距离．（“华杯赛”邀请赛试题）10．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的3倍．现甲自A地去B地，乙、丙则从B地去A地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达自己的目的地？（“华罗庚金杯”竞赛试题）1011．已知数轴上A，B两点对应数分别为2和4，P为数轴上一点，对应数为．（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个（长度单位/分），则第几分钟时，P为AB的中点？12．—条直线顺次排列着1990个点：P1，P2，…，P1990，已知点是线段的等分点当中最靠近巧的那个点（2≤≤1989），如P5是线段P4P6的5等分点当中最靠近P6的那个分点．如果线段P1P2的长度是1，线段P1989P1990的长度为．求证：＝．（浙江省竞赛试题）10专题22直线、射线、线段例18或2例2D例3设，，则，，，，故图中所有线段长度之和为，即又为正整数，例4（1），（2），，，（3）设，则，又，，解得，即，例5（1）如图，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成3个或4个区域；如图，三条直线因其位置不同，可以分辊把平面分成4个，6个，7个区域（2）如图，四条直线最多可以把平面分成11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点。（3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，；当时，；当时，；当时，，……由此可以归纳公式为……4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6.4．1285．D6．A7．D8．C9．（1）6条，长度和为20.（2）36条，长度和为88.1010．（1）当点C在点A左侧时，MN=NC－MC=cm.（2）当点C在点A、B两点之间时，MN=NC+MC=cm.（3）当点C在点B右侧时，MN=MC－NC=cm.综上所述：MN=30cm.11．（1）A、B两点对应的数分别为－10，2.（2）①AP=6t，CQ=3t，M为AP中点，CN=，则．∴点M对应的数为－10+3t，点N对应的数为6+t.②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t，又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t.则－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t.解之得t=18秒或秒.B级1．2．3．244．2a－b5．A提示：6．B7．D8．B9．因BP0=4a，根据题意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=4a，BP6=BP5=4a.由此可见，P6点与P0点重合，又因为2001=6×333+3，所以P2001点与P3点重合，P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离，积6a－5a=a.10．提示：如图，设甲、丙在C点相遇，同时乙整好走到D点，丙骑车的路程为整个BC，而甲骑车的路程不是整个BC（因为甲在途中遇到乙后即改为步行），所以丙骑车的路程比甲长，丙比甲先到目的地.因为甲乙步行速度相等，所以AC=BD.设甲、乙在C、D之间的E点相遇，则甲骑车的路程只有CE这一段，而乙骑车的路程是AE=EC+CA，所以乙骑车路程比甲长，乙比甲先到目的地.最后，比较一下乙、丙骑车的路程：因为AC=BD，所以丙骑车的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA，从而丙比乙先到达目的地.因此，丙最先到达目的地，甲最后到达目的地.11．（1）0或2.（2）当x=－4或6时，PA+PB=10.（3）设t分钟后，P为AB的中点，A、B、P运动t分钟后对应的数分别为－2－t，4－2t，－t，由．得t=2.12．由题设可知，P2是线段P1P3的中点，故P1P2=P2P3=1；P3是线段P2P4的3等分点当中最靠近P4的那个分点，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是线段PK－1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+110的那个分点，故PkPk+1=Pk－1Pk+1=Pk－1Pk+PkPk+1.于是有PkPk+1=Pk－1Pk.当k=4，5，6，…，1989时，P4P5==，P5P6=，P6P7=，…，P1989P1990=，所以10