专题28　纵观全局——整体思想阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：1.整体观察2.整体设元3.整体代入4.整体求和5.整体求积注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．例题与求解【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是．（北京市竞赛题）解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．【例2】设是不全相等的任意数，若，则（）（全国初中数学联赛试题）A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零解题思路：由于的任意性，若孤立地考虑，则很难把握的正负性，应该考虑整体求出的值．【例3】如果a满足等式，试求的值．(天津市竞赛题)解题思路：不能直接求出的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．【例4】已知，代数式，求当时，代数式的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：的值无法求出，将给定的值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．【例5】已知实数满足方程组．求的值．（上海市竞赛题）解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到．【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼解题思路：解答此题的关键是根据题意得出，这是本题的突破口．注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．能力训练1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是2．若a，b，c的值满足，则(“城市杯”竞赛试题)3．角中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是4．如果，那么=（“希望杯”邀请赛试题）5．已知都是正数，设，，那么与的大小关系是．（北京市“迎春杯”竞赛试题）6．若方程组有解，则（湖北省武汉市选拔赛试题）7．若正数满足不等式，则的大小关系是（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．B．C．D．9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（）A．B．C．D．10．设，满足等式，则中至少有一个值（）A．B．C．D．（全国初中数学联赛试题）11．12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．（江苏省竞赛试题）13．代数式中，可以分别取+1或-1．（1）证明代数式的值都是偶数．（2）求这个代数式所能取到的最大值．（“华罗庚金杯”竞赛试题）14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．（江苏省竞赛试题）专题28纵观全局——整体思想例1380000提示：设a1，a2，a3，…，a999，al000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设他们的平均值是A，误输入计算机的数据为a'，由题意得例2D提示：x＋y＋z＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．例3原式＝例4将x＝2，y＝－4代入ax3＋by＋5＝1997中，得8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．当x＝－4，y＝－时，3ax－24by3＋4986＝3a·(－4)－24b·(－)3＋4986＝－12a＋3b＋4986＝－3(4a－b)＋4986＝－3×996＋4986＝1998．例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．例6设满足已知条件填好的数依次为a1，a2，…，a10，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，…a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，即≤10M，解得M≥27．5．而M为整数，故M的最小值为28．将1，2，…，10分成如下的两组10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入图中，【能力训练】1．3·571428＝4·4285712．－10提示：由题意有，即．则9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3(a＋2b－3c)＝2×4＋3×（－6）＝－10．3．23.5°4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝3x2＋15x－6－9x＋15＝3(x2＋2x)＋9＝3×3＋9＝18．5．＞提示：设x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．6．－1提示：将3个方程组相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0，而x2＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0．7．B8．B9．A10．A11．(1)原式＝＝＝(由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0(2)由得，即．同理，．三式相加得2()＝48，故＝24．则＝．12．设前、后两个二位数分别为m，n，则根据题意有：10m＋mn＝100m＋n，m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是两位数，且个位数字为5，因此n＝95，从而知m＝19，故所求四位数为1995．13．(1)略．(2)在rvz，－rwy，－suz，swx，tuy，－tvx这六项相乘得，－＝－1，所以这六项中，至少有一项是－1，这样六项之和之多是5－1＝4．在u，x，y为－1，其他字母为1时，原式的最大值为4．14．（1）能．（2）不能．提示：设所填的6个数顺序为a，b，c，d，e，f，它们任意相邻三数和大于10，即a＋b＋c≥11，b＋c＋d≥11，c＋d＋e≥11，d＋e＋f≥11，e＋f＋a≥11，f＋a＋b≥11，则3（a＋b＋c＋d＋e＋f）≥66，故a＋b＋c＋d＋e＋f≥．而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以不能使每三个相邻的数之和都大于10．