专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1．．说明了与、2一样都是非负数．2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3．揭示了与绝对值的内在一致性．4．（≥0，≥0）．5．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤≤2，经化简，＝___________．解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．\n【例3】若＞0，＞0，且，求的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．【例4】若实数，，满足关系式：，试确定的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知，求＋＋的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC三边的长分别为，，2（＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）\n解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．图1图2能力训练A级1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知为实数，化简．解：原式＝．3．已知正数，，有下列命题：（1）若＝1，＝1，则1；（2）若＝，＝，则；（3）若＝2，＝3，则；（4）若＝1，＝5，则3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______．\n5．代数式的最小值是（）．A．0B．1＋C．1D．不存在6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．A．和2B．3和3C．和D．和（“希望杯”邀请赛试题）7．化简的结果是（）．A．6－6B．－6＋6C．－4D．4（江苏省竞赛试题）8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数（武汉市竞赛试题）9．已知，其中≠0，求的值．（山东省中考试颗）10．已知与的小数部分分别是，，求的值．（浙江省竞赛试题）11．设，，为两两不等的有理数．求证：为有理数．（北京市竞赛试题）\n12．设，都是正整数，且使，求的最大值．（上海市竞赛试题）B级1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．2．已知实数满足，则－19992＝___________．3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．（北京市竞赛试题）4．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对（，）的个数是（）A．0B．1C．2D．3（江苏省竞赛试题）6．已知＝1，那么代数式的值为（）A．B．－C．－D．（重庆市中考试题）7．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为（）．A．3B．C．2D．8．已知，则的值为（）．A．3B．4C．5D．6\n9．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求的值．（北京市竞赛试题）10．已知3＝3＝cz3，＋＋＝1，求证：＋＋．11．已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数．求：（1）当，，，满足什么条件时，是有理数，（2）当，，，满足什么条件时，是无理数．（“希望杯”邀请赛试题）12．设＝，求不超过的最大整数[s]．13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝．（1）用含的代数式表示AC＋CE的长；（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．（恩施自治州中考试题）\n专题09二次根式的概念与性质(3)构造△ABC如图b所示，.\nA级1..2.不正确，正确的答案是3.4.5.B6.D7.D8.B9.10.11.提示:设法证明12.∵都为整数，必为整数.设得即=216=4×54=2×108.当时，的值最大，最大值为108.B级1.-162.2000提示：由得3.4.提示：5.D6.D提示：由得7.B8.C9.6610.提示：令,则\n11.(1)当时，是有理数;当时，,其中是有理数，是无理数,是有理数;要使s为有理数，只有，即.综上知，当且时，s是有理数.(2)当时，且是无理数;当时，,其中是有理数，是无理数，是有理数，所以，当，即为无理数.综上知，当或是无理数.12.∵.13.(1)AC+CE=.(2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小.(3)如图，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作DE⊥BD，且使AB=2,DE=3，连结AE交BD于点C，设BC=x，则CD=12-x,AE的长即为的最小值，过点A作AF//BD交ED的延长线于点F，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，AF=BD=8,AE===13，即原式的最小值为13.