专题14　多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有，条边，分别引出，条对角线，由此得，方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么的最大值是（　　）A．5B．6C．7D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用边形内角和公式，以及边数为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出的值．\n【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）第1题第2题2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为＿＿＿．\n3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．第3题第4题第7题4．如图，ABCD是凸四边形，则的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）A．9条B．8条C．7条D．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸边形的内角和小于1999°，那么的最大值是（　　）（全国初中联赛试题）A．11B．12C．13D．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（　　）个角．A．5个B．5个或3个C．5个或3个或4个D．4个8．—个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和为2400°，则的值是（　　）A．15B．16C．17D．不能确定9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和DC的长．10．—个凸边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）\n11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正边形恰好被正边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是＝4，＝8的情况），若＝10，则＝＿＿＿＿．第1题第2题第3题2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸边形（≥5）的各边相交，则得到的个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）\n4．如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（　　）A．60°B．67.5°C．75°D．不能确定（重庆市竞赛试题）第4题第5题5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（　　）A．70°B．110°C．140°D．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（　　）A．12B．12或13C．14D．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）8．一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值．（上海市竞赛试题）\n9．设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，求A4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…正多边形每个内角的度数60°90°（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）\n专题14多边形的边与角例157例2B例3n＝17提示：设此角为x，则（n－2）×180°＝x＋2570°，得，x＝130°，此时n＝17.例4双向延长AB，CD，EF，GH得四边形MNPQ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为，每一外角均为45°，因此MNPQ为长方形，△BPC，△DQE，△FMG，△ANH都是等腰直角三角形.设GH＝x，HA＝y，由MQ＝NP，得MF＋FE＋EQ＝NA＋AB＋BP，∴，∴.∵MN＝QP，∴x＝3＋2，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋2＋3－＝32＋.例5将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M点时走的总路程是180米.A级1.7；540°2.363.540°4.1＜x＜135.D6.C7.C8.A9.BC＝10，DC＝610.n＝611.提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面,必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n×108°=360°的n值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B级1.52.143.180°;(n－4)180°4.B5.D由OA=OB=OC得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则\n解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的倍.10.(1)108°;120°;(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则即.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有一组∴符合条件的图形只有一种.