专题15　多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ\n＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°．【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：AD＜．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．求证：AB＝AC＋BD．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠\nBEC＝∠CFA＝∠．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图1图2图3图4（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求证：CD＝AB．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．能力训练\nA级1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．第1题第2题第3题第4题2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（　　）A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFCD．△ABC≌△ADE第5题第6题第7题6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个（北京市东城区中考试题）8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；\n（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．图1图29．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．图1图210．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．\n求证：BD＋CE＝BC．12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．（日照市中考试题）B级1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）第2题第3题第4题第5题3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（　　）A．5对B．6对C．7对D．8对5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（　　）\nA．BE＋CF＞EFB．BE＋CF＝EFC．BE＋CF＜EFD．BE＋CF与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（　　）A．相等B．不相等C．互余D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度数．（上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问与的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分别平分∠BAC，∠ACB．\n求证：AC＝AE＋CD．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．求证：为定值．12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（海口市中考试题）图1图3图2\n13．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图1图2图3（台州市中考试题）\n专题15全等三角形例1C命题③、④是假命题例2证明△ABP≌△AQC 例3提示：延长AD至E，使DE=AD,连结BE,则△ACD≌△EBD例4如图，在AB上截取AF,使AF=AC,连结EF由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°而∠5+∠AFE=180°,则∠5=∠D.在△BFE≌△BDE中，∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.例5(1)①=,=②∠a+∠BCA=180°,先证明∠BCE=∠CAF,再证△BCE≌△CAF(2)EF=BE+AF例6如图,过点A作AE丄AB交BC的延长线于点E,则AB=AE,∠E=∠D在△ADC与△CEA中∵∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.A级1.152.7cm3.90°4.②③5.D6.B7.B8.(1)如图，先证∠DBF=∠DAC,再证△BDF≌△ADC.最后由D点作DS丄BF于S，DT丄AC于T，由S△BDF=S△ADC,可知DS=DT∴ED平分∠FEC(2)类比(1)可证.9.(1)2OM=BC理由如下:延长OM至N,使OM=NM,连DN,可先证：△OMA≌△NMD再证△COB≌△ODN.∴ON=BC即2OM=BC(2)类比(1)可证2OM=BC10.提示：△AEP≌△AFP,∠M=∠ACB－∠MFC=∠ACB－∠AFE=∠ACB－(∠ABC+∠M)\n11.在BC上截取BF=BD,则△BDP≌△BPF以下只要证明CF=CE,充分利用角平分线构造全等三角形.∵∠BPC=90°+∠A=120°,∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE60°,又∠1=∠2,CP=CP,∴△CPF≌△CPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE12.(1)略(2)连CM,证明△CBD≌△CEM.B级1.45°或135°提示：对高的位置进行讨论2.1＜AD＜43.AB－AC4.C5.A提示：延长ED到G,DG=ED,连结CG6.D提示：符合条件的两个三角形不一定全等7..略8.如图,作CF丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF∴AB－AE=AF－AD.即BE=DF.∴Rt△CBE≌Rt△CDF,得∠ABC=∠CDF.∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°. 9.(1)a≠b,不妨设a＞b,如图所示,在AB上截取AE=AD,连结EC,则△ADC≌△AEC∴∠AEC=∠D，CE=CD=CB，∴∠B+∠D=∠CEB+∠AEC=180°，（2）当a=b，则△ACD≌△ABC，得∠D=∠B.欲使∠D+∠B=180°，则需∠D=∠B=90°，所以当a≠b时，一定有∠B+∠D=180°；当a=b时，只有∠D=∠B=90°，才有∠B+∠D=180°.10.提示：如图作∠AOC平分线OF交AC于F，由∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，可证：∠AOC=120°，∴∠AOE=∠AOF=∠COD=60°.∴可证△AEO≌△AFO，△CFO≌△CDO，∴AC=AE+CD.\n11.在AC是截取CP=CD，连ID，在AC上截取AE=AQ，连IE，过P作PN⊥CQ于N，过D作DM⊥IE于M，易证：△CPI≌△CDI，△AQI≌△AEI，由题意可证：∠AIC=90+∠B=135°，∴∠CIP=∠CID=∠AIQ=∠AIE=∠DIE=45°，再证△PIN≌△DMI，∴PN=DM，∴，，∴，∴12.（1）先证明△ADC≌△CEB，从而AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE.（2）同（1）（3）DE=CD－EC=BE－AD13．（1）①=；=②，先证明∠B=∠ACF，再证明△BCE≌△CAF.（2）EF=BE+AF.