专题21梯形阅读与思考梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．如图所示：例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD四个内角的度数；\n（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．\n【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．（1）求证：△PQS是等边三角形；（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．能力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至\nDE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()A．＞B．＝C．＜D．无法确定6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是()A.B．8C.D.E.（美国高中考试题）7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()A．B．C．D．3（鄂州市中考试题）9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．\n（哈尔滨市中考试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．求证：．11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；（2）．（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)\nB级1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD\n的面积为()A．B．2SC．D．（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()A．4B．C．5D．6（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.\n（全国初中数学联赛试题）11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.\n专题21梯形例1a＋b例2⑴上底角为120°，下底角为60°；⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；⑶能拼出菱形，以下图形供参考：例37cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.图a图b图c∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条件∠BPC＝90°的点P有2个.例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝,BC＝7.\n∴△SPQ的边长SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝×()2＝.(3）设CD＝a，AB＝b(a<b),BC2＝SC2＋BS2＝(a)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋ab.∴S△SPQ＝(a2＋ab＋b2).又＝，则S△AOD＝ab.又＝,则S△AOD＝ab.∵＝,∴8×(a2＋ab＋b2)＝7×ab.即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得＝.故CD：AB＝1:2.例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝(ER＋FS).易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，故PQ＝AB.A级1.60°2.33.6cm4.8cm25.B6.D7.C8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝2.又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝.9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝BH，AD＝CH.11.略12.⑴⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为＋＋4.②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作^于。当时，；当时，；当时，\nB级1.42.5cm3.10.5提示：以7，14作两底的梯形中位线最长4.6：4：6：95.B6.A7.D8.C提示：连结，，则，而9.提示：连结，，延长交的延长线于，则，又10.如图，过，分别作，垂直于，分别交于，，过、分别作所有直线于，，可证明，。∥∥，11.提示：设梯形的高为，则基其两条对角线分别为与，于是与都是完全平方数，即与都是完全平方数，从而即，又与的奇偶性相同，因此，得，或，12.（1）（2）由（1）知；则P点到达终点时所有用时间为：，同理：，。，只可能在上设经过，四边形为等腰梯形，则，，由题意可知：，解得（3）存在，点为连结两腰中点线段的中点，，，