人教版八(下)数学培优专题28 整体与完形——补形法(含答案解析)
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2022-06-17 15:00:04
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专题28整体与完形阅读与思考许多几何问题,常因图形复杂、不规则而给解题带来困难,这些复杂、不规则的图形,从整体考虑,可看作某种图形的一部分,如果将它们补充完整,就可得到常见的特殊图形,那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题,这就是解几何问题的补形法,常见的补形方法有:1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形;2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形;3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形:例题与求解【例1】如图,已知CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠E=,∠C=,则∠AFE=_________度.(北京市竞赛试题)解题思路:有平行的条件,不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.【例2】设分别是△ABC的三边长,且满足,则它的内角∠A、∠B的关系是().A.∠B>2∠AB.∠B=2∠AC.∠B<2∠AD.不确定(全国初中数学竞赛试题)解题思路:从化简已知等式入手,并补出相应的图形.\n【例3】如图1,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连结FG,延长AF,AG,与直线BC相交,易证.若(1)BD,CE分别是△ABC的内角平分线(如图2);(2)BD为∠ABC的内角平分线;(3)CE为△ABC的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.(黑龙江省中考试题)解题思路:既有平分线又有垂线,联想到等腰三角形性质,考虑将图形补成等腰三角形.【例4】如图,四边形ABCD中,∠ABC=,∠BCD=,AB=,BC=,CD=,求AD的长.(全国初中数学竞赛试题)解题思路:由于四边形ABCD是一般四边形,所以直接求AD比较困难,应设法将AD转化为特殊三角形的边.例4题图例5题图【例5】如图,凸八边形中,∠=∠,∠=∠,∠=∠,∠=∠,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.(山东省竞赛试题)解题思路:本例是一个几何定值证明问题,关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决,若连结对角线,则会破坏一些已知条件,应当考虑向外补形.\n【例6】如图,在△ABC中,∠ABC=,点D在边BC上,∠ADC=,且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换,得到△,连结.(1)证明:⊥;(2)求∠C的大小.(全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题)解题思路:本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.能力训练1.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=,AB=AD,若这个四边形的面积为12,则BC+CD=_____________.(山东省竞赛试题)2.如图,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=,EA=AB=BC=,CD=DE=,则这个五边形的面积为_______________.(美国AHSME试题)3.如图,一个凸六边形六个内角都是,其中连续四条边的长依次为,则该六边形的周长为______________.4.如图,ABCDEF是正六边形,M,N分别是边CD,DE的中点,线段AM与BN相交于P,则=_________.(浙江省竞赛试题)\n5.如图,长为的三条线段交于O点,并且∠=∠=∠=,则三个三角形的面积和__________(填“<”,“=”,或“>”).(“希望杯”邀请赛试题)6.如图,在四边形ABCD中,∠A=,∠B=∠D=,BC=,CD=,则AB=().A.B.C.D.(广西壮族自治区中考试题)7.如图,在△ABC中,M为BC中点,AN平分∠A,AN⊥BN于N,且AB=,AC=,则MN等于().A.B.C.D.8.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=,BE⊥AD于E,,则BE的长为()A.B.C.D.9.如图,在四边形ABCD中,AB=,BC=,CD=,∠B=,∠C=,则∠D等于()A.B.C.D.条件不够,无法求出(重庆市竞赛试题)\n10.如图,在△ABC中,E是AC中点,D是BC边上一点,若BC=,∠ABC=,∠BAC=,∠CED=,求的值.11.如图,设是的斜边长,是直角边,求证:.(加拿大中学生竞赛试题)12.如图,已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等,而且边长都是整数.求证:这个八边形的对边相等.13.如图,设P为△ABC的中位线DE上的一点,BP交AC于N,CP交AB于M,求证:.(齐齐哈尔市竞赛试题)14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是,另四条边长是,求八边形的面积.\n专题28整体与完形——补形法例1134例2B提示:由已知得例3(1),分别延长AG、AF交BC于H,K,则AF=KF,AB=KB,AG=HG,AC=HC..(2)例4提示:作DG⊥BC交BC延长线于Q,AM⊥CB交CB延长线于M,DN⊥MA于N,则MNDQ为矩形,.例5延长A8A1,A3A2相交于M,延长A2A3,A5A4相交于N,延长A4A5、A7A6相交于P,延长A6A7、A1A8相交于Q.∵∠A1=∠A5,∠A2=∠A6,∴∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,∴∠M=∠P,同理可证:∠N=∠Q。∴MNPQ为平行四边形,即A1A8∥A4A5,A2A3∥A7A6。同理可证:A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7∴凸八连形内任意一点到边A2A3和A6A7的距离的和为平行线A2A3和A6A7间的距离,是一个定值.同样,这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离;这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离;这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离,都是定值.所以,凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.例6(1)证明略.(2)如图,过点A分别作的垂线,垂足分别为.由及已证结论,知四边形是正方形,由,及是沿作对称变换得到,知点均在的平分线上,∴.于是,≌,≌.故.则在中,.能力训练1.提示:延长至,使.2.3.424.提示:延长及分别交于及,则∽,∽.5.<如图,将沿方向平移到位置,\n再将沿方向平移到位置,则为等边三角形,且边长为2,因==6.D7.D8.C9.B10.提示:把补成一个边长为1的正三角形,延长至,使,连接,在上取点,使,连接,则≌,~,.11.提示:以为直角边向三角形外作等腰,再作的延长线于E,则为直角梯形,.12.证明:设八边形的边长分别为且都是整数,因为内角都等于,所以延长对边与这对边的延长线依次交出四点,则为矩形。∴即.是整数,是整数,是无理数,上式成立,须,即.类似可以证明:,,,即这个八边形的对边相等.13.提示:过A作BC的平行线,分别交BN,CM的延长线于G,H,则BHGC为平行四边形,.14.在同圆中,因为等弦对等弧,所以,把八边形沿半径剪成四个底边为1和四个底边为2的等腰三角形,如图,重新拼成八边形,使,.易知,八边形的八个内角相等,且的延长线组成正方形,≌,≌.故原八边形面积=八边形的面积===