专题29几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.1.平移变换如图1，如果把图形上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形后，则由到的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.2.对称变换如图2，将平面图形变换到与它成轴对称的图形，这样的几何变换就叫做关于直线（对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换如图3，将平面图形绕这一平面内一定点M旋转一个定角，得到图形，这样的变换叫旋转变换，M叫旋转中心，叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l】如图，∠AOB=，角内有点P，PO=，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.\n【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是，则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A.B.C.D.不能确定（全国通讯赛试题）解题思路：解本例的关键是如何构造以PA，PB，PC为边的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.\n【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=，∠MCN=（1）如图1，当M、N在AB上时，求证：（2）如图2，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM.连DN，只需证DN=BN，∠MDN=；或将△ACM(或△BCM)旋转.【例6】如图，∠DAC=，∠DBC=，∠CAB=，∠ABD=，求∠DCA的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是的倍数，，这使我们想到构作正三角形.\n能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△，则的度数是_______.（泰安市中考试题）(第1题)（第2题）（第3题）2.如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=_________.3.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与轴交于点C.若，则=______________.（武汉市中考试题）4.如图，△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，DB=3，DC=2，则△ABC的面积是___________.5.如图，P为正方形内一点，若，则∠APB的度数是（）.A.B.C.D.6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转，得四边形,下列结论：①四边形为菱形；②；③线段的长为.其中正确的结论有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个\n7.如图，A，B两个电话机离电话线的距离分别是3米，5米，CD=6米，若由L上一点分别向A，B连电话线，最短为（）.A.11米B.10米C.9米D.8米8.如图，在△ABC中，∠BAC=，P是△ABC内一点，若记，，则（）.A.B.C.D.与的大小关系不确定9.如图，已知D是△ABC中BC边的中点，过D作DE⊥DF，分别交AB于E，交AC于F，求证：.（天津市竞赛试题）10.如图，△ABC，△其各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，.求证：△ABC，△均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）\n11.如图，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分别为AC，AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，.(1)若是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；（2）若是轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求的值；（3）设M，N分别为轴，轴上的动点，问：是否存在这样的点和，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M，EP⊥于P，FQ⊥于Q，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）\n14.如图所示，已知△ABC中，AB=BC，在△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM.（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BM⊥DM；（2）如图2中的△ADE绕点A逆时针旋转小于的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）15.如图，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，求△ABC的面积.（山东省竞赛试题）\n专题29几何变换例1例2A提示：将绕点顺时针旋转得，则≌，为等边三角形.例3提示:延长至,使,连接,.例4提示:过作∥过作∥,过作∥,则为等边三角形.例5(1)如图a，由≌则,.又由，得.由,得,又,则≌,有,,∴∴即(2)关系式:仍成立,方法同上,如图b例6如图,作关于所在直线的轴对称图形则，连接，则为正三角，得.故能力训练1.2.3.12提示:如图,设过作轴,交于点,过作轴,交于点E由,则都在双曲线上,,解得(舍去)\n4.15提示:分别以为对称轴作点的对称点,连接相交于,证明四边形为正方形5.B6.C7.B8.D9.提示:延长至,使,连接10.提示:作，交成等边三角形11.提示:作,连，四边形为菱形,,由得为等边三角形,又又12.提示:(1)作关于轴对称点,连交轴于,周长最短,(2)将点向左平移3个单位得，再作关于的对称点，连交轴于，再将向右平移3个单位得点，(3)作点关于轴对称点,作点关于轴的对称点,连交轴于,交轴于13.提示:过作,作作由则同理可证:又,又从而\n则14.提示:(1)由(2)延长至点,使,连.可证:延长,交于,交延长线于又,又,为等腰三角形,15.如图,以为对称轴作的对称,以为对称轴作的对称,并延长交于点,则易知四边形是正方形,不妨设,则由