专题01　二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.想一想：若（其中x,y,n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】　当时，代数式的值是（　　）A、0　　　　B、－1　　　　C、1　　　　D、（绍兴市竞赛试题）【例2】　化简（1）（黄冈市中考试题）（2）（五城市联赛试题）\n（3）（北京市竞赛试题）（4）（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】　比大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.\n【例4】　设实数x，y满足，求x＋y的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】　（1）代数式的最小值.　　　（2）求代数式的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】　设，求的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.\n能力训练A级1.化简：（“希望杯”邀请赛试题）2.若，则＝_____(北京市竞赛试题)3.计算：（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（　　　）A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞0\n6、计算的值为（　　）A．1　　　B.C.D.5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（　　）A．1999　　　B.2000　　　C.2001　　D.　不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是（　　）A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）　　（2）（3）\n（4）　　（天津市竞赛试题）（5）　　　（“希望杯”邀请赛试题）10、设，求代数式的值.（“希望杯”邀请赛试题）11、已知，求x的值.\n12、设（n为自然数），当n为何值，代数式的值为1985？　　B　级1.已知.(四川省竞赛试题)2.已知实数x，y满足，则＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知.（重庆市竞赛试题）4.那么＝＿＿＿＿＿.（全国初中数学联赛试题）5.　a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（　　）A.2　　　B.　4　　　C.　6　　　D.　8(全国初中数学联赛试题)6．　已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）　　B.b＜a＜c　C.c＜b＜cD.c＜a＜b(全国初中数学联赛试题)7.　已知，则的值是（　　）A.　　　B.　　　C.　　　D.　不能确定8.　若[a]表示实数a的整数部分，则等于（　　）A.1　　　B.2　　　C.3　　　　D.　4（陕西省竞赛试题）9．　把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（　　）\nA.　　　B.　　C.　　D.（武汉市调考题）10、化简：（1）　（“希望杯”邀请赛试题）（2）（新加坡中学生竞赛试题）（3）　　（山东省竞赛试题）（4）　　（太原市竞赛试题）11、设　求证.（“五羊杯”竞赛试题）12、求的最大值.12、已知a,b,c为正整数，且为有理数，证明：为整数.\n专题01二次根式的化简与求值例1A提示：由条件得4x2－4x－2001＝0．例2(1)原式＝·＝2(2)原式＝＝2－5．(3)原式＝＝＝；（4）原式＝＝．例3x＋y＝2，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝42，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582．∵0＜＜1，从而0＜＜1，故10581＜＜10582．　例4　x＋＝＝－y…①；同理，y＋＝＝－x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例5(1)构造如图所示图形，PA＝，PB＝．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B＝＝13为所求代数式的最小值．(2)设y＝＋，设A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝＝2．例6m＝＋＝＋．∵1≤a≤2，∴0≤≤1，∴－1≤－1≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1999．A级1．12．3．0提示：令＝a，＝b，＝c．4．(17，833)，(68，612)，(153，420)5．B6．C7．B8．A9．(1)(2)原式＝＝\n＝．(3)(4)(5)10．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．11．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝．12．n＝2提示：xy＝1，x＋y＝4n＋2．B级1．642．1　提示：仿例4，由条件得x＝y，∴(x－)2＝2008，∴x2－2008－x＝0，∴(－x)＝0，解得x2＝2008．∴原式＝x2－2007＝1．3．4．1　提示：∵(－1)a＝2－1，即＝－1．5．B　提示：由条件得a＋b＝3＋，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．6．B　提示：a－b＝－1－＞－1－＝0．同理c－a＞07．B8．B9．D　提示：注意隐含条件a－1＜0．10．(1)1998999.5提示：设k＝2000，原式＝．(2)提示：考虑一般情形＝－(3)原式＝＝＝．(4)2－11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CP＝，AP＝，AC＝，AM＝，∴AC≤PC＋PA＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋12．设y＝－＝－，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝．13．＝＝为有理数，则b2－ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．