专题21直线与圆的位置关系阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆.运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I为△ABC的内切圆，则有：（1）AE=AF=，BF=BD=，CD=CE=；（2）∠B+∠DIF=∠C+∠DIE=∠A+∠EIF=180°.这里BC=a，CA=b，AB=c，s=（a+b+c）.2．如图2，设⊙I为Rt△ABC的内切圆，则有：（1）四边形IDCE是正方形；（2）内切圆半径r=.3．如图3，设⊙O为四边形ABCD的内切圆，则有；AB+CD=AD+BC.图1图2图3例题与求解【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点.若BC=2，AC=3，则AE·EB=.（全国初中数学联赛试题）解题思路：P为Rt△ABC内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.例1题图例2题图【例2】如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）A．3∶4B．4∶5C．5∶6D．6∶7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.\n【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.\n【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G.求∠DEF的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.能力训练A级1．如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF、BE的长是方程x2－13x+30=0的两根，则S△ABC的值是.（泰州市中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2，则AC=.（杭州市中考试题）3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线于点M.有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线都相切，且在x轴上方.当⊙O′与y轴也相切时，点P的坐标是.（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）（第4题图）（第5题图）\n5．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E、F.若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（）A．aB．aC．bD．b6.若0°＜α＜90°，那么以sinα、cosα、tanα·cotα为三边的△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R之和是（）（安徽省竞赛试题）A．B．C．2sinαcosαD．7．如图，设AD是△ABC的中线，△ABD、△ADC的外心分别为E、F，直线BE与CF交于点G.若DG=BC，求证：∠ADG=2∠ACG.（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P.过C点的切线与AD交于点D.连结AO、DO.（1）求证：△ABO∽△OCD；（2）若AB、CD是关于x的方程x2－（m－1）x+（m－1）2=0的两个实数根，且S△ABO+S△OCD=20，求的值.（第7题图）（第8题图）（第9题图）9．如图，以坐标原点O为圆心，6为半径的圆交y轴于A、B两点，AM、BN为⊙O的切线，D为切线AM上的一点（D与A不重合），DE切⊙O于点E，与BN交于点C，且AD＜BC.设AD=m，BC=n.（1）求m·n的值；（2）若m，n是方程2t2－30t+k=0的两根，求：①△COD的面积；②CD所在直线的解析式；③切点E的坐标.（辽宁省中考题）\n10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙On－1与⊙On相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙On都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙On与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高.O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2=.（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r=.（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④PA为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（　　）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④\n（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（）A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD中，连结AC.如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（）A．B．C．D．不能确定，与AB、BC的长度有关（《学习报》公开赛试题）7．一条直线DE平分△ABC的周长，同时直线DE又平分了△ABC的面积.求证：直线DE经过△ABC的内切圆圆心O.（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB、BC、CD分别与圆相切于E、F、G，AB=BC=CD.连结AC与BD相交于点P，连结PF.求证：PF⊥BC.（江苏省竞赛试题）（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，CH为高，R、S分别为△ACH和△BCH的内切圆与CH的切点.若AB=1995，AC=1994，BC=1993，则RS可表示成，其中m，n是互质的正整数.求m+n的值.（美国中学生数学邀请赛试题）\n10．如图，△ABC的三边满足关系式BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心.∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H.求证：（1）AI=BD；（2）OI=AE.（湖北省选拔赛试题）（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（－2，0）、B（8，0）.以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD.（1）求C、M两点的坐标；（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，与AB、AC两边分别切于D、E两点，连结DE.点P是劣弧上的一个动点（不与D、E重合），过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PK⊥BC于K，PK交DE于L点.求证：（1）PL2=PM·PN；（2）=+.（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）专题21直线与圆的位置关系（2）\n例13提示：内切圆半径r＝(5－)，AE＝(＋1)，BE＝(－1)．例2D提示：设正方形边长为1，BE＝x，则BE＝EF＝x，CD＝DF＝1，AE＝1－x，AD＝1，DE＝1＋x．由DE2＝AE2＋AD2，得(1＋x)2＝(1－x)2＋1，得x＝，AD＋AE＋DE＝3，BE＋DE＋CD＋BC＝．∴周长之比＝3:＝6:7．例3提示：连接AD，CF，DF，EF．∠EDF＝∠CDF＝45°，∠CFD＝180°－∠CDA＝180°－∠CFA＝∠CFB，∠DCF＝180°－∠CFD－∠CDF＝180°－∠CFB－∠CBF．例4如图，延长AI交⊙O于D，连接OA，OD，BD和BI，则AI＝ID，又∠DBI＝∠DBC＋∠CBI＝∠DAC＋∠CBI＝(∠BAC＋∠ABC)＝∠DIB，故BD＝ID＝AI，又＝，OD⊥BC于E，则BE＝BC．作IG⊥AB于G，可证Rt△BDE≌Rt△AIG，得AG＝BE＝BC，而AG＝(AB＋AC－BC)，故AB＋AC＝2BC．例5（1）∵∠A＝∠DCB，∴∠EAC＝∠O2CB，∴∠EAC＋∠ACE＝∠O2CB＋∠ACE＝90°．即∠AEC＝90°，∴O1O⊥CO2．（2）由于点O1，O2分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，∴∠O1CO2＝45°．由（1）有∠O1EC＝90°，∴CE＝O1E．同理可证O2F⊥CF，∠OO2E＝45°，O2E＝EO．又∠CEO＝∠O2EO1，∴△CEO＝△O1EO2，∴CO＝O1O2．例6过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于O点，连接AH，DH，作AM⊥BC于M，∵BD＝BE，∠B＝60°，∴△DBE为正三角形，得∠BDE＝∠BAC＝60°，∴DE∥AC，DH⊥AC，又AM＝EH，AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，得AH⊥HE，即AH是切线，则AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，∴AC与EH的交点O是圆心，OE＝OF，∠COE＝30°，∠OFE＝75°，∵DE∥AC，∴∠DEF＋∠OFE＝180°，故∠DEF＝105°．A级1．30°2．123．(0，0)，(12－6，0)4．D5．C6．A提示：R＝，r＝．7．连接DE，DF，易证△BGC为直角三角形，证明A，G，C，B四点共圆，且D为圆心，故∠ADG＝2∠ACG．8．（1）略（2）m＝59．（1）36（2）①连接OE，m＋n＝15，S△COD＝CD·OE＝45°；②m＝3，n＝12，CD所在直线的解析式为y＝－x＋10；③求得y1＝，设E(x1，y1)，代入解析式得x1＝，∴E(，)．\n10．连接AO1并延长交BC于点D，连接BOn并延长交AD，AC于点O，E．由∠O1AF＝∠DAC，得＝，CD＝，由Rt△O1AF∽Rt△DAC，得＝，即＝，从而AF＝3r，同理BG＝2r，又FG＝2(n－1)r，∴3r＋2(n－1)r＋2r＝5，故r＝．11．（1）连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2，I2A3，可证明∠A2I1A3＝90°＋∠A2A1A3，∠A2I2A3＝90°＋∠A2A4A3，∠A2A1A3＝∠A2A4A3，从而∠A2I1A3＝∠A2I2A3，故A2，I1，I2，A3四点共圆．（2）连接I3A4，同（1）知A3，I2，I3，A4四点共圆，得∠I1I2A3＝180°－∠I1A2A3＝180°－∠A1A2A3，∠I3I2A3＝180°－∠I3A4A3＝180°－∠A1A4A3，故∠I1I2I3＝360°－∠I1I2A3－∠I3I2A3＝(∠A1A2A3＋∠A1A4A3)＝90°．B级1．①2．提示：参见例5，OC＝O1O2．3．提示：连接OC，OD，OE，则S△ABC＝S△BCO＋S△AOC＝(BC＋AC)r＝AC·BC．4．C5．B提示：连接OD，OC，设半圆半径长为r，边OA与DA上的高都为r，故AO＝DA．同理BO＝BC，AB＝5．6．A7．提示：不妨设D，E分别在AB，AC上，又设△ABC的内切圆半径都为r，连接AO，BO，CO，DO，EO，∵AD＋AE＝BD＋BC＋CE，∴r(AD＋AE)＝r(BD＋BC＋CE)，即S△AOD＋S△AOE＝S△BOD＋S△BOC＋S△COE，又∵S△ADE＝SBCED，∴S△DOE＝0，从而O必在DE上．8．提示：设圆心为O，连接OB，CO，可证明O为△PBC的垂心，PO⊥BC，PO必过BC与⊙O的切点F，故PF⊥BC．9．设P，T分别为△ACH的内切圆与AC，AB的切点，令△ABC的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，CH＝h，AH＝x，BH＝y，两内切圆的半径分别为r1，r2，于是RS＝|RH－SH|＝|r1－r2|，由b＝AC＝AP＋CP＝AT＋CR＝(x－r1)＋(h－r1)推得r1＝，同理r2＝．∴RS＝|r1－r2|＝|－|＝|(x－y)＋（a-b）|①.又∵,，∴②.把②代入①\n，得RS=，故m+n=332+665+997.10.（1）作IG⊥AB。联结BI，有AG=（AB+AC-BC）.∵BC=（AB+AC），∴AG=BC.由I为△的内心，BD=DC，且DE为☉O的直径，得DE⊥BC，BH=，∴AG=BH.易证Rt△AGI≌Rt△BHD，故AI=BD.（2）∵∠IBD=∠IBH+∠HBD=∠ABI+∠BAI=∠BID，∴BD=DI.由中位线定理得OI=AE.11.（1）C（8,10）M（0,4）（2）联结PC，CM，CM=10=CB，又PM=PB，CP=CP，∴△CPM≌△CPB，得∠CMP=∠CBP=90°，故CM为☉O的切线.（3）作M点关于x轴的对称点，则（0，-4）.联结C与x轴交于点Q，此时QM+QC最小.直线C解析式为.当y=0时，，∴Q（）.12.（1）由△PLE∽△PMD得.（2）DE为△ABC的中位线，PM+PN+PK=2LK，PM+PN=2LK-PK，=PM+PN+2PL=2LK-PK+2PL=2（LK+PL）-PK=PK，故.