专题23圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O的直径cm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为________cm2.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线相切.若⊙A，⊙B，11\n⊙C的半径分别为，，（），则，，一定满足的关系式为（）A.B.C.D.（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：（1）∠APD=∠BPD；（2）.（天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD入手.【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D.求证：O1D⊥BC.（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠BO1C.充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=，点P在边BC11\n上运动（与B，C不重合）.设PC=，四边形ABPD的面积为.（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程.【例6】如图，ABCD是边长为的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.11\n【能力与训练】A级1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为，AM的长为，则与的函数关系是_________________.（要求写出自变量的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点.已知∠AO1B＝60°，那么∠APB的度数是（）A.60°B.65°C.70°D.75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若⊙O1半径为，⊙O2的半径为2，则AC：AD为（）A.B.C.D.（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB＝，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（）A.B.10C.D.11\n8.已知两圆的半径分别为R和（），圆心距为.若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.外离D.外切或内切（连云港市中考试题）9.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧上任意一点，直线CB交⊙O2于D，连接O1D.（1）证明：DO1⊥AC；（2）若点C在劣弧上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.（大连市中考试题）图1图210.如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，交⊙O1于点C，H.（1）求证：△BCP∽△HAP；（2）若AP:PB＝3：2，且C为HB的中点，求HA:BC.（福州市中考试题）11\n11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：BC＝2AF.（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径，求半圆的直径AB.（杭州市中考试题）B级1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为cm，外直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.11\n4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝，其中，为整数，则___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A.B.C.D.（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：CD:BD＝2:4:3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）A.2:3B.2:5C.1:3D.1:47.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.（1）求证：CD是⊙O1的直径；11\n（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.（1）求BD的长；（2）求的度数；（3）求的值.（淄博市中考试题）11.如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：P为CH的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）11\n专题23圆与圆的位置关系例1提示：连接必过点O，则⊥AB，设⊙，⊙的半径为xcm，在Rt△中，有，解得x=.例2D提示：连接AB，，，作⊥，则，即，得，同理，，，由得，故.例3提示：⑴过P点作两圆的公切线.⑵即证.例4，，则为的平分线，又，故.例5⑴过D作DQ⊥BC于Q，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=，故（0<x<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P与⊙D外切时，如图1，QC=2，PC=x，QP=，PD=x+，DQ=2，在Rt△DQP中，由得，，.②当⊙P与⊙D内切时，如图2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x-，DQ=2，在Rt△DPQ中，由得，，.11\n例6就图1给出解答：连接CP并延长交AB于点Q，连接BP，得∠BPC90°，又，得AQ=QB=AB，在Rt△CQP中，.过Q作QM∥BC交AN于M，则MQ=.由△MQP∽△NCP，得，故＝.A级1．或2.23．y＝＋x(0＜x＜4)4.3条5．D6．D　7．B　8．D　9．提示：(1)连结AB，A，并延长交⊙于E，连结CE．(2)结论仍然成立．10．(1)略(2)提示：设AP＝3t，由BC·BH＝BP·BA，BH＝2BC，BC＝t.易证△HAP∽△BAH，得HA＝t，故＝.11．连结BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，则BM∥HN．∵H是BC的中点，故N是CM的中点，∴CN＝CM＝（CE－EM）＝(CE－BD)，而AH＝BH－AB＝BC－AB＝(AB＋AC)–AB＝(AC－AB)，因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH＝∠HAF，又∠CNH＝∠AHF＝90°，得△CNH≌△AHF，从而BC＝2CH＝2AF.12.(l):2提示：由题意，设正方形边长为l，则，得R:l＝:2．由＝AD×DB，DE＝10，得AD×DB＝l00．设AC与内切圆交点S，CB与内切圆交点H，设AD＝r，DB＝．AB＝x＋，AS＝AD＝x，BH＝BD＝．又△ABC为直角三角形。∴，即（四边形OSCH为正方形），解得x＋＝21，故AB＝AD＋BD＝21．B级1.4±2.63.49a＋b提示：当圆环为3个时，链长为3a＋×2＝2a＋b(cm11\n)；当圆环为50个时，链长为50a＋×2＝49a＋b(cm)．4.312提示：设O为大圆圆心，R为AB与PQ的交点，AB＝x，OQ＝x－10，AR＝，解得x＝8±x>0，则x＝8＋5.C提示：－一个内切圆的面积．6．C7．C提示：设另一条公切线与⊙切于点C，与⊙切于点D，过作，则由对称性可得∠CB＝∠CA＝∠AB＝120°．8．(1)略(2)AD＝12.9．提示：(1)过A点作两圆的内公切线，连结AC．(2)BE＝BF＝BC，，由△ABE∽△EBD得＝BA·BD，∠CBE＝∠BEF＝∠FBE．10．(1)BD＝l0(2)连结OB．C，F分别为AB，BE中点，BC＝BF，AB＝BE，∠OBD＝∠D，∠ABE＋∠D＝90°，故∠ABE＋2∠D＝180°.(3)连结BO并延长交AE于H，连结OC，H为AE中点．BH⊥AE，AB＝24，由△BOC∽△BAH，得∴AH＝，AE＝，又△BGD∽△AGE，则．11．如图，延长AP交⊙于点Q，连结AH，BD，QB，QC，QH，∵AB为⊙的直径，∴∠BDA＝∠BDQ＝90°，故BQ为⊙的直径，于是CQ⊥BC，BH⊥HQ.又∵点H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，所以AH//CQ，AC//HQ，即四边形ACQH为平行四边形，∴P为CH的中点．12．连结AC，AD，BC，BD，并且过C，D两点分别作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴，两式相减得(PA＋PB)(PA－PB)＝AB(AE－BF)＝AB(PA－PB).于是AE－BF＝PA－PB，即PA－AE＝PB－BF，∴PE＝PF，也就是说点P是线段EF的中点，因此MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP⊥AB，从而可得MP分别与⊙A与⊙B相切．11