专题24平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是：1.探求定值；2.给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值.解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.【例2】如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变C.等分D.随C点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.12\n【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值.（广州市中考试题）解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.（1）求点C的坐标；（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.（图1）（图2）12\n【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A级1.如图，点A，B是双曲线上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则_______.（牡丹江市中考试题）（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为_________.4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°（武汉市竞赛试题）5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作⊥AB，，且=AP，=BP.连接，当点P从点A移动到点B时，的中点的位置（）A．在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动（荆门市中考试题）12\n（第5题图）（第6题图）6.如图，A，B是函数图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（）A.3B.6C.9D.12（海南省竞赛试题））7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点E，F.PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）12\n8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交x轴于点N.（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R.求证：（1）是定值；（2）是定值.12\n11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B级1.等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.2.已知A，B，C，D，E是反比例函数（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题）3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）A.∠1＋∠2＝900°－2αB.∠1＋∠2＝1080°－2αC.∠1＋∠2＝720°－αD.∠1＋∠2＝360°－α（武汉市竞赛试题）12\n（第3题图）（第4题图）4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.5B.6C.7D.8（黄石市中考试题）（第5题图）（第6题图）6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.（株洲市中考试题）7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）12\n（第7题图）（第8题图）8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于E，射线QE交x轴于点F.设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）.（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当时，△PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形，请写出解答过程.（黄冈市中考试题）（第9题图）（第10题图）10.已知抛物线C1：，点F（1,1）.（1）求抛物线C1的顶点坐标；（2）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：.（3）抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断是否成立？请说明理由.11.已知A，B是平面上的两个顶点，C是位于AB一侧的一个动点，分别以AC，BC为边在△ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求证：不论C在直线AB同一侧的任何位置，EG的中点P的位置不变.（四川省竞赛试题）12\n专题24平面几何的定值问题例1延长PC至E，使CE＝AP，连结BE，则△BCE≌△BAP，及△PBE为等腰直角三角形，故例2B提示：连结AC，BC，可以证明P为的中点．例3∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P四点共圆，于是∠SPM＝∠SOM＝∠SOT为定角．例4(1)连结OC交DE于M，则OM＝CM，EM＝DM，而DG＝HE，则HM＝GM故四边形OGCH是平行四边形．(2)DG不变．DE＝OC＝OA＝3.DG＝DE＝×3＝1．(3)设CD＝x，延长OG交CD于N，则CN＝DN＝x，，.∴，而ON＝CH，∴．故CD2＋3CH2＝x2＋3(4－x2)＝x2＋12－x2为定值．例5⑴C(0，4)⑵先求得AM＝CM＝5，连接MC交AE于N，由△AOG∽△ANM，得，OG＝，，又∠BOC＝∠GOM，∴△GOM∽△COB，∠GMO＝∠CBO，得MG∥BC．⑶连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，DO2＝OM•OP，OP＝．动点F在⊙M的圆周上运动时，从特殊位置探求的值．当F与点A重合时，；当点F与点B重合时，；当点F不与点A，B重合时，连接OF、PF、MF，∴DM2＝MO•MP，∴FM2＝MO•MP，即，又∠OMP＝∠FMP，∴△MFO∽△MPF，，故的比值不变，比值为．例6∠BPC＝120°，在△BPC中，由余弦定理得BC2＝PB2＋PC2－2PB•PC＝BC2，又由上托勒密定理得BC•PA＋PC•AB，而AB＝BC＝AC，∴PA＝PB＋PC，从而PA2＋PB2＋PC2＝(PB＋PC)2＋PB2＋PC2＝2(PB2＋PC2＋PB•PC)＝2BC2＝2×＝6．故PA2＋PB2＋PC2为定值．A级1．4提示：∵S1＋S阴＝S2＋S阴＝xy＝3，∴S1＋S2＝2xy－2S阴＝6－2＝4．2．提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．3．r2提示：先考查OB与OA垂直的情形．4．D提示：延长BF交DE于点M，连接BD，则△BCD为等边三角形，BF平分∠CBD．∵F为CD中点，且AD∥CE，∴△ADF与△ECF关于点F中心对称．∴CE＝AD＝CD，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D提示：A′B′12\n的中点均在⊙O的上半圆的中点处．6．B提示：S正方形OCAD＝OD•OC＝＝6，∴SOEBF＝OE•OF＝xB•yB＝6．7．⑴略⑵当点P在⊙O内时，过P作直径CD，则PE•PF＝PD•PC＝r2－OP2为定值；当点P在⊙O外时，PE•PF为定值．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．8．⑴⑵22.5°⑶P值无变化．理由如下：如图，延长BA交y轴于E点，可证明△OAE≌△OCN，得OE＝ON，AE＝CN，又∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝ON，∴△OME≌△OMN，得MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CM＋CN＋BN＋BM＝AB＋AC＝4．9．⑴0＜x＜90⑵BE＝BF提示：连接BD，可证明△BDF∽△ADB，△BDE∽△ADC．10．⑴作OP⊥BD于P，OQ⊥AC于Q，连接AO，则AO2＝，又AK•CK＝BK•DK，得AK2＋BK2＋CK2＋DK2＝4R2为定值．⑵作直径DE，连接AE，BE，CE，AB2＋CD2＝4R2，AD2＋BC2＝4R2，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝8K2为定值．11．设正方形的边长为a，根据托勒密定理，对于四边形APBC和四边形APBD，有CP•a＝AP•a＋BP•，DP•a＝BP•a＋AP•，两式相加并整理得(CP＋DP)a＝(AP＋BP)(a＋)，从而为定值．B级1．1提示：不妨设∠A为锐角，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为垂心，由AB＝AC知∠HBD＝∠HCD＝∠HAE，∠HDC＝∠CDA＝90°，故Rt△CHD∽Rt△ACD．∴，即AD•HD＝DC2＝BC2＝1．∴S△ABC•S△HBC＝＝1．当∠A≥90°时，结论成立．2．13π－26提示：∵A，B，C，DE是反比例函数y＝(x＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是＝5π－10＋8π－16＝13π－26．3．B提示：如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P，GA′的延长线与HB′的延长线交于点P′．由对称性可知∠1＝2∠APP′，∠2＝2∠BPP′．∴∠1＋∠2＝2∠APB．∵∠APB＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．4．D5．B提示：如图，设AB与MN交于点C，过点O作OD⊥MN于D，连接FO并延长交EB于G．由垂径定理，得OD＝＝3．由△AFO≌△BGO，得AF＝BG，即h1＝BG．由AF⊥MN，BE⊥MN，得△FOD∽△FGE．∴．∴EG＝2OD＝6，∴＝EG＝6．6．⑴A(3－m，0)⑵y＝x2－2x＋1⑶过点Q作QM⊥AC于M，过点Q作QN⊥BC于N，设Q点的坐标为(x，x2－2x＋1)，则QM＝CN＝(x－1)2，MC＝QN＝3－x．∵QM∥CE，∴PQM∽△PEC．∴，即12\n，得EC＝2(x－1)．∵QN∥CF，∴△BQN∽△BFC．∴，即，得FC＝．又AC＝4，∴FC(AC＋EC)＝＝8为定值．7．提示：易证△ABK∽△BNA，故AK•BN＝AB2为定值，即AK与BN的乘积与M点的选择无关．8．提示：S△ABC•S△HBC＝BC4，由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC•S△HBC保持不变．9．⑴A(18，0)，B(0，－10)，顶点坐标为(4，－)⑵若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而PA＝18－4t，CQ＝t，故18－4t＝t，得t＝．⑶设点P运动ts，则OP＝4t，CQ＝t，0＜t＜4.5．说明P在线段OA上，且不与点O，A重合．由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故．同理QC∥AF，故，即，∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．又点Q到直线PF的距离d＝10，∴S△PQF＝•PF•d＝×18×10＝90．于是S△PQF的面积总为定值90．⑷由前面知道，P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)，0≤t≤4.5．构造直角三角形后易得PQ2＝(4t－8＋t)2＋102＝，FQ2＝(18＋4t－8＋t)2＋102＝(5t＋10)2＋100．①若FP＝FQ，即182＝(5t＋10)2＋100，故25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝．∵2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝．∴t＝－2．②若QP＝QF，即(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100，即(5t－8)2＝(5t＋10)2，无0≤t≤4.5的t满足．③若PQ＝PF，即(5t－8)2＋100＝182，∴(5t－8)2＝224．由于≈15，又0≤5t≤22.5，∴－8≤5t－8≤14.5，14.52＝＜224．故没有t(0≤t≤4.5)满足此方程．综上所述，当t＝－2时，△PQR为等腰三角形．10．⑴C1的顶点坐标为(1，).⑵略⑶作PM⊥AB于M，作QN⊥AB交AB延长线于N，∴PM＝1－yP，FM＝1－xP．在Rt△PMF中，PF2＝(1－yP)2＋(1－xP)2＝1－2yP＋yP2＋1－2xP＋xP2，又∵点P在抛物线上，∴yP＝xP2－xP＋1，∴PF2＝1－xP2＋2xP－2＋yP2＋1－2xP＋xP2＝yP2，∴PF＝yP，同理，QF＝yQ，易证△PMF∽△QNF，则，∴，即，∴＝2．11．先从特殊情况出发．当△ABC是等腰直角三角形时，点P与点C重合，此时点P的位置在AB的中垂线上，且到AB的距离为AB，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C，E，G分别作直线AB的垂线CH，EM，GN，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△BGN≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，GN＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMNG的中位线，从而OP⊥AB，OP＝(EM＋GN)＝(AH＋BH)＝AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，EG中点P的位置不变．12\n12