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山东省泰安市新泰市八年级上学期期中数学试题含解析新人教版

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山东省泰安市新泰市2022-2022学年八年级上学期期中数学试题一、选择题:本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分。1.在中,分式的个数是()A.2B.3C.4D.52.使分式有意义的x的取值范围是()A.x≤3B.x≥3C.x≠3D.x=33.下列图形中,轴对称图形的个数是()A.1B.2C.3D.44.下列说法正确的是()A.等边三角形只有一条对称轴B.等腰三角形对称轴为底边上的高C.直线AB不是轴对称图形D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线5.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.点A(﹣3,2)关于x轴的对称点A′的坐标为()A.(﹣3,﹣2)B.(3,2)C.(3,﹣2)D.(2,﹣3)7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是()23A.10B.15C.20D.308.下列等式成立的是()A.+=B.=C.=D.=﹣9.计算的结果是()A.0B.1C.﹣1D.x10.化简的结果是()A.x+1B.x﹣1C.﹣xD.x11.化简:(a+)(1﹣)的结果等于()A.a﹣2B.a+2C.D.12.如果把中的x和y都扩大5倍,那么分式的值()A.扩大5倍B.不变C.缩小5倍D.扩大4倍13.如图,下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A.AB=DC,AC=DBB.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠DD.AB=DC,∠A=∠D2314.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是()A.1对B.2对C.3对D.4对15.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为()A.40°B.45°C.60°D.70°16.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于()A.∠EDBB.∠BEDC.∠AFBD.2∠ABF17.如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是()A.B.C.D.2318.已知,则代数式的值为()A.﹣8xyB.﹣8C.﹣4D.419.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与B重合,点C落到G处,折痕为EF,若∠ABE=20°,则∠EFG的度数为()A.125°B.120°C.135°D.150°20.在等腰△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于所成的锐角是40°,则∠B=()A.40°或60°B.65°C.25°或65°D.35°或125°二、填空题:本大题共4个小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对的3分。21.已知分式的值为零,那么x的值是__________.22.如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为__________cm.23.如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=21°,则∠ABP的度数为__________.2324.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则∠AOB的度数是__________.三、解答题:本大题共5小题,满分48分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。25.(1)先化简,再求代数式的值,其中a=.(2)已知,求A、B的值.26.如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别作出直线l.27.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上.画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并分别写出点A1、B1、C1的坐标.2328.如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°,求∠BCA的度数.29.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=1,求AD的长.232022-2022学年山东省泰安市新泰市八年级(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分。1.在中,分式的个数是()A.2B.3C.4D.5【考点】分式的定义.【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【解答】解:在中,分式有,∴分式的个数是3个.故选:B.【点评】本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,是常数,所以象不是分式,是整式.2.使分式有意义的x的取值范围是()A.x≤3B.x≥3C.x≠3D.x=3【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分母为零,分式无意义;分母不为零,分式有意义,可得x﹣3≠0,解可得答案.【解答】解:由题意得:x﹣3≠0,解得:x≠3.故选:C.【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1)分式无意义⇔分母为零;(2)分式有意义⇔分母不为零;(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.3.下列图形中,轴对称图形的个数是()23A.1B.2C.3D.4【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.【解答】解:第一、三、四个图形是轴对称图形,第二个图形不是轴对称图形,共3个轴对称图形,故选:C.【点评】此题主要考查了轴对称图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.4.下列说法正确的是()A.等边三角形只有一条对称轴B.等腰三角形对称轴为底边上的高C.直线AB不是轴对称图形D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线【考点】轴对称的性质.【分析】根据轴对称的性质可知.【解答】解:A、等边三角形有三条对称轴,即三条高,错误.B、等腰三角形对称轴为底边中线所在直线,错误;C、直线AB是轴对称图形,错误;D、正确.故选D.【点评】本题考查轴对称的性质.对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.5.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS【考点】全等三角形的应用.【分析】在△ADC和△ABC中,由于AC为公共边,AB=AD,BC=DC,利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC,进而得到∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.【解答】解:在△ADC和△ABC中,,23∴△ADC≌△ABC(SSS),∴∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.故选:D.【点评】本题考查了全等三角形的应用;这种设计,用SSS判断全等,再运用性质,是全等三角形判定及性质的综合运用,做题时要认真读题,充分理解题意.6.点A(﹣3,2)关于x轴的对称点A′的坐标为()A.(﹣3,﹣2)B.(3,2)C.(3,﹣2)D.(2,﹣3)【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.【分析】利用关于x轴对称点的性质,横坐标不变,纵坐标互为相反数.即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,﹣y),进而得出答案.【解答】解:∵点A(﹣3,2)关于x轴的对称点为A′,∴A′点的坐标为:(﹣3,﹣2).故选:A.【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质,正确把握横纵坐标的关系是解题关键.7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是()A.10B.15C.20D.30【考点】角平分线的性质.【分析】过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.【解答】解:过D作DE⊥BC于E,∵∠A=90°,∴DA⊥AB,∵BD平分∠ABC,∴AD=DE=3,∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15,故选B【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.8.下列等式成立的是()23A.+=B.=C.=D.=﹣【考点】分式的混合运算.【专题】计算题.【分析】原式各项计算得到结果,即可做出判断.【解答】解:A、原式=,错误;B、原式不能约分,错误;C、原式==,正确;D、原式==﹣,错误,故选C【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.9.计算的结果是()A.0B.1C.﹣1D.x【考点】分式的加减法.【专题】计算题.【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算,变形后约分即可得到结果.【解答】解:原式==﹣=﹣1.故选C【点评】此题考查了分式的加减法,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母.10.化简的结果是()A.x+1B.x﹣1C.﹣xD.x【考点】分式的加减法.【专题】计算题.【分析】将分母化为同分母,通分,再将分子因式分解,约分.【解答】解:=﹣23===x,故选:D.【点评】本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.11.化简:(a+)(1﹣)的结果等于()A.a﹣2B.a+2C.D.【考点】分式的混合运算.【专题】计算题.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:•=•=a+2.故选B.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.12.如果把中的x和y都扩大5倍,那么分式的值()A.扩大5倍B.不变C.缩小5倍D.扩大4倍【考点】分式的基本性质.【分析】把分式中的x和y都扩大5倍,根据分式的基本性质化简即可.【解答】解:==5×,故把分式中的x和y都扩大5倍,那么分式的值扩大5倍.23故选:A.【点评】根据分式的基本性质,无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数,分式的值不变.13.如图,下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A.AB=DC,AC=DBB.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠DD.AB=DC,∠A=∠D【考点】全等三角形的判定.【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据以上内容逐个判断即可.【解答】解:A、AB=DC,AC=DB,BC=BC,符合全等三角形的判定定理“SSS”,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;B、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合全等三角形的判定定理“SAS”,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;C、在△AOB和△DOC中,,∴△AOB≌△DOC(AAS),∴AB=DC,∠ABO=∠DCO,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠DCB,在△ABC和△DCB中,,∴△ABC≌△DCB(SAS),即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;D、具备条件AB=DC,BC=BC,∠∠A=∠D不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确.故选D.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.14.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是()23A.1对B.2对C.3对D.4对【考点】全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.【专题】压轴题.【分析】根据已知条件“AB=AC,D为BC中点”,得出△ABD≌△ACD,然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,推出△AOE≌△EOC,从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形,要由易到难,不重不漏.【解答】解:∵AB=AC,D为BC中点,∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90°,在△ABD和△ACD中,,∴△ABD≌△ACD;∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,AE=CE,在△AOE和△COE中,,∴△AOE≌△COE;在△BOD和△COD中,,∴△BOD≌△COD;在△AOC和△AOB中,,∴△AOC≌△AOB;故选:D.【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法;这是一道考试常见题,易错点是漏掉△ABO≌△ACO,此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形,然后从已知条件入手,分析推理,对结论一个个进行论证.2315.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为()A.40°B.45°C.60°D.70°【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数,根据角平分线的性质可得∠CBA的度数,根据等腰三角形的性质可得∠C的度数,根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数.【解答】解:∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°.故选:A.【点评】考查了平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质和三角形内角和定理.关键是得到∠C=∠CBA=70°.16.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于()A.∠EDBB.∠BEDC.∠AFBD.2∠ABF【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ACB与∠DBE的关系,根据三角形外角的性质,可得答案.【解答】解:在△ABC和△DEB中,,∴△ABC≌△DEB(SSS),∴∠ACB=∠DBE.∵∠AFB是△BFC的外角,23∴∠ACB+∠DBE=∠AFB,∠ACB=∠AFB,故选:C.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,三角形外角的性质.17.如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是()A.B.C.D.【考点】作图—复杂作图.【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上,于是可判断D选项正确.【解答】解:∵PB+PC=BC,而PA+PC=BC,∴PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.故选D.【点评】本题考查了复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.18.已知,则代数式的值为()A.﹣8xyB.﹣8C.﹣4D.4【考点】分式的化简求值.【分析】先根据题意得出x﹣y=﹣3xy,再代入代数式进行计算即可.【解答】解:∵﹣=3,∴x﹣y=﹣3xy,∴原式=23==4.故选D.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.19.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与B重合,点C落到G处,折痕为EF,若∠ABE=20°,则∠EFG的度数为()A.125°B.120°C.135°D.150°【考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题).【分析】由折叠的性质知:∠EBG、∠BGF都是直角,∠BEF=∠DEF,因此BE∥GF,那么∠EFG和∠BEF互补,即可解答.【解答】解:由折叠的性质知,∠BEF=∠DEF,∠EBG=∠D=90°,∠BGF=∠C=90°,∴BE∥GF,∴∠EFG+∠BEF=180°,又∵∠ABE=20°,∴∠AEB=70°,∴∠BEF=∠DEF=55°,∴∠EFG=180°﹣55°=125°.故选A.【点评】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后对应角相等.20.在等腰△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于所成的锐角是40°,则∠B=()A.40°或60°B.65°C.25°或65°D.35°或125°【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.【分析】首先根据题意作图,分别从AB的垂直平分线与线段,与CA的延长线相交所成的锐角为40°去分析,根据线段垂直平分线的性质,即可求得答案.【解答】解:如图①:∵DE是AB的垂直平分线,∴∠DEA=90°,∵∠ADE=40°,∴∠DAE=50°,∵AB=AC,∠A=∠DAE=50°,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=65°;23如图②:∵DE是AB的垂直平分线,∴∠DEA=90°,∵∠ADE=40°,∴∠DAE=50°,∴∠BAC=130°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=25°;故选C.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.二、填空题:本大题共4个小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对的3分。21.已知分式的值为零,那么x的值是1.【考点】分式的值为零的条件.【专题】计算题.【分析】分式的值是0的条件是,分子为0,分母不为0.【解答】解:根据题意,得x2﹣1=0且x+1≠0,解得x=1.故答案为1.【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.22.如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为6cm.23【考点】线段垂直平分线的性质.【专题】数形结合.【分析】根据中垂线的性质,可得DC=DB,继而可确定△ABD的周长.【解答】解:∵l垂直平分BC,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm.故答案为:6.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,注意掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.23.如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=21°,则∠ABP的度数为33°.【考点】线段垂直平分线的性质.【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP,根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP,求出∠CBP=∠BCP,根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+21°+60°=180°,求出方程的解即可.【解答】解:∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP,∵直线l是线段BC的垂直平分线,∴BP=CP,∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=60°,∠ACP=21°,∴3∠ABP+21°+60°=180°,解得:∠ABP=33°.故答案为:33°.【点评】本题考查了三角形内角和定理,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键,数形结合思想的应用.24.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则∠AOB的度数是30°.【考点】轴对称-最短路线问题.23【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB=∠COD,证出△OCD是等边三角形,得出∠COD=60°,即可得出结果.【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;∵点P关于OB的对称点为C,∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴OC=OP=OD,∠AOB=∠COD,∵PN+PM+MN的最小值是5cm,∴PM+PN+MN=5,∴DM+CN+MN=5,即CD=5=OP,∴OC=OD=CD,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.故答案为:30°.【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质;熟练掌握轴对称的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.三、解答题:本大题共5小题,满分48分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。25.(1)先化简,再求代数式的值,其中a=.(2)已知,求A、B的值.【考点】分式的化简求值;分式的加减法.【分析】(1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可;(2)先把等式的右边通分,再与左边相比较即可得出结论.【解答】解:(1)原式=﹣•23=﹣=,当a=时,原式==;(2)右边==,∴A+B=5,2A﹣5B=5,解得A=3,B=2.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.26.如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别作出直线l.【考点】作图-轴对称变换.【专题】作图题.【分析】根据轴对称的性质,对应边所在直线的交点一定在对称轴上,图1过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l;图2,延长两组对应边得到两个交点,然后过这两点作直线即为对称轴直线l.【解答】解:如图所示.【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键.27.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上.画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并分别写出点A1、B1、C1的坐标.23【考点】作图-轴对称变换.【分析】分别作出点A、B、C关于y轴对称的点,然后顺次连接,并分别写出点A1、B1、C1的坐标.【解答】解:所作图形如图所示:.A1(3,﹣1),B1(2,﹣4),C1(1,﹣2).【点评】本题考查了根据轴对称变换作图,解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置,然后顺次连接.28.如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°,求∠BCA的度数.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】可证明△COD≌△COB,得出∠D=∠CBO,再根据∠BAC=80°,得∠BAD=100°,由角平分线可得∠BAO=40°,从而得出∠DAO=140°,根据AD=AO,可得出∠D=20°,即可得出∠CBO=20°,则∠ABC=40°,最后算出∠BCA=60°.【解答】解:∵△ABC三个内角的平分线交于点O,∴∠ACO=∠BCO,在△COD和△COB中,23,∴△COD≌△COB,∴∠D=∠CBO,∵∠BAC=80°,∴∠BAD=100°,∴∠BAO=40°,∴∠DAO=140°,∵AD=AO,∴∠D=20°,∴∠CBO=20°,∴∠ABC=40°,∴∠BCA=60°.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质,证明三角形全等是解决此题的关键.29.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=1,求AD的长.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF,从而得证;(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.【解答】(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE,23在△ADC和△BDF中,,∴△ADC≌△BDF(ASA),∴BF=AC,∵AB=BC,BE⊥AC,∴AC=2AE,∴BF=2AE;(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD=1,在Rt△CDF中,CF==,∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=CF=,∴AD=AF+DF=1+.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.23

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