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高二数学上学期等比数列专题讲解

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高中数学等比数列专题讲解教学目标:灵活应用等比数列的定义及通项公式,深刻理解等比中项概念,掌握等比数列的性质;提高学生的数学素质,增强学生的应用意识.教学重点:1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程:Ⅰ.复习回顾等比数列定义,等比数列通项公式Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式,再与等差数列对照,看等比数列具有哪些性质?(1)若a,A,b成等差数列a=,A为等差中项.那么,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,…… 则即=,即G2=ab反之,若G2=ab,则=,即a,G,b成等比数列∴a,G,b成等比数列G2=ab(a·b≠0)总之,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±,(a,b同号)另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,那么,在等比数列中呢?由通项公式可得:am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,aq=a1·qq-1不难发现:am·an=a12qm+n-2,ap·aq=a12qp+q-2若m+n=p+q,则am·an=ap·aq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?[例1]在等比数列{an}中,若a3·a5=100,求a4.分析:由等比数列性质,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq可得:解:∵在等比数列中,∴a3·a5=a42又∵a3·a5=100,∴a4=±10.[例2]已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求证{an·bn} 是等比数列.分析:由等比数列定义及通项公式求得.解:设数列{an}的首项是a1,公比为p;{bn}的首项为b1,公比为q.则数列{an}的第n项与第n+1项分别为a1pn-1,a1pn数列{bn}的第n项与第n+1项分别为b1qn-1,b1qn.数列{an·bn}的第n项与第n+1项分别为a1·pn-1·b1·qn-1与a1·pn·b1·qn,即为a1b1(pq)n-1与a1b1(pq)n∵·==pq它是一个与n无关的常数,∴{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.特别地,如果{an}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列{c·an}是等比数列.[例3]三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数.解:设m,G,n为此三数由已知得:m+n+G=14,m·n·G=64,又∵G2=m·n,∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10 ∴或即这三个数为2,4,8或8,4,2.评述:结合已知条件与定义、通项公式、性质,选择解题捷径.Ⅲ.课堂练习课本P50练习1,2,3,4,5.Ⅳ.课时小结本节主要内容为:(1)若a,G,b成等比数列,则G2=ab,G叫做a与b的等比中项.(2)若在等比数列中,m+n=p+q,则am·an=ap·aqⅤ.课后作业课本P52习题5,6,7,9 1.已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于()A.5B.10C.15D.202.在等比数列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.123.非零实数x、y、z成等差数列,x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于()A.10B.12C.14D.164.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四数.5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,a1=1,b1=2,a2=3,求an∶bn的值. 6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy,能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数. 等比数列(二)答案1.已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于()A.5B.10C.15D.20分析:要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定基本量a1和q,再求a3+a5的方法是不行的,而应寻求a3+a5整体与已知条件之间的关系.解法一:设此等比数列的公比为q,由条件得a1q·a1q3+2a1q2·a1q4+a1q3·a1q5=25即a12q4(q2+1)2=25,又an>0,得q>0∴a1q2(q2+1)=5a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(q2+1)=5解法二:∵a2a4+2a3a5+a4a6=25由等比数列性质得a32+2a3a5+a52=25即(a3+a5)2=25,又an>0,∴a3+a5=5评述:在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体观念,善于利用等比数列的性质,以达到简化解题过程、快速求解的目的. 2.在等比数列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解:∵am=a1a2a3a4a5=a15q1+2+3+4=a15q10=a15q11-1又∵a1=1,∴am=q11-1,∴m=11.答案:C3.非零实数x、y、z成等差数列,x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于()A.10B.12C.14D.16解:由已知得y=12答案:B4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四数.解:设所求的四个数分别为a,x-d,x,x+d则解得x=4,代入①、②得 解得或故所求四个数为25,-10,4,18或9,6,4,2.5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,a1=1,b1=2,a2=3,求an∶bn的值.分析:关键是求出两个数列的通项公式.根据条件,应注意两个数列之间的联系及相互转换.解:由题意知:∴an+1=,an=(n≥2)代入①得2bn=+即2=+(n≥2)∴{}成等差数列,设公差为d又b1=2,b2==,∴d=-=-=∴=+(n-1)=(n+1),bn=(n+1)2,当n≥2时,an==③ 且a1=1时适合于③式,故=.评述:对于通项公式有关系的两个数列的问题,一般采用消元法,先消去一个数列的项,并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形,构造一个新的数列.6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy,能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.分析:先由x>y>2,可知x-y<x+y<xy,下来只需讨论和x-y的大小关系,分成两种情况讨论.解:∵x>y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而<1<x-y当<x-y时,由,x-y,x+y,xy顺次构成等比数列.则有解方程组得x=7+5,y=5+∴所求等比数列为,2+,12+,70+.当>x-y时,由x-y,,x+y,xy顺次构成等比数列则有 解方程组得y=,这与y>2矛盾,故这种情况不存在.7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.分析一:从后三个数入手.解法一:设所求的四个数为,x-d,x,x+d,根据题意有,解得或∴所求四个数为3,6,12,18或,,,.分析二:从前三数入手.解法二:设前三个数为,x,xq,则第四个数为2xq-x.依题设有,解得或故所求的四个数为3,6,12,18或,,,.分析三:从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三:设欲求的四数为x,y,18-y,2-x,由已知得:,解得或∴所求四数为3,6,12,18或,,,.

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