高中数学人教A版选修2-3第1章1.2.2组合4教学设计

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1．2．2组合4组合数的性质1：．一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵又，∴说明：①规定：；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.例如＝＝=2002；④或．2．组合数的性质2：＝+．一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素\n，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：∴＝+．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）,或，；（2）；（3）．\n例12．（1）计算：；（2）求证：＝++．解：（1）原式；证明：（2）右边左边例13．解方程：（1）；（2）解方程：．解：（1）由原方程得或，∴或，又由得且，∴原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为，即，∴，∴，∴，解得或，经检验：是原方程的解