力的合成和分解\n一、基本概念1．合力与分力合力与分力是根据作用效果命名的,若一个力与几个力的作用效果相同,我们称这“几个力”为分力,“一个力”为这“几个力”的合力．\n【名师点拨】①合力的“合”不是“和”,“合力”不一定大于分力．可能比分力大,可能比分力小,也可能与分力相等,或为零．②受力分析时,如果把某一个力分解,合力就不存在了,它的作用效果由其分力充当,不能同时把“合力”与“分力”都算上,重复计算是出现错误的根源．\n【例1】如图所示,某人静躺在椅子上,椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G,则椅子各部分对他的作用力的合力大小为()A．GB．GsinθC．GcosθD．Gtanθ\n【解析】椅子各部分对人的作用力的效果向上,与重力等大反向,人才能平衡在椅子上,故选A项．【答案】A\n2．力的合成与分解求几个力的合力叫力的合成；求一个已知力的分力叫力的分解．\n二、平行四边形定则1．内容如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形,那么,合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来．\n2．理解若分力用F1、F2表示,夹角为θ,合力用F合表示,讨论以下几种情况：(1)当θ＝0时,F合＝F1＋F2,此时F合有最大值；(2)当θ＝π时,F合＝│F1－F2│,此时F合有最小值．以上两种情况综合起来可知,合力的范围|F1－F2|≤F合≤F1＋F2.【名师点拨】|F1－F2|≤F合≤F1＋F2不仅适用于力,事实上,所有矢量的合成的范围都是这一规律．\n【例2】如图为节日里悬挂灯笼的一种方式,A、B点等高,O为结点,轻绳AO、BO长度相等,拉力分别为FA、FB,灯笼受到的重力为G,下列表述正确的是()\nA．FA一定小于GB．FA与FB大小相等C．FA与FB是一对平衡力D．FA与FB大小之和等于G【解析】由题意知,A、B两点等高,且两绳等长,故FA与FB大小相等,B选项正确．若两绳夹角大于120°,则FA＝FB＞G；若夹角小于120°,则FA＝FB＜G；若夹角等于120°,FA＝FB＝G；故选项A、D错．夹角为180°时,FA与FB才能成为一对平衡力,但这一情况不可能实现,故C项错．【答案】B\n\n【例3】如图所示的水平面上,橡皮绳一端固定,另一端连接两根弹簧,连接点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止．下列判断正确的是()A．F1>F2>F3B．F3>F1>F2C．F2>F3>F1D．F3>F2>F1\n【解析】由力的平行四边形定则及三角形知识,可知F1、F2和F3组成矢量三角形,其中F3为斜边,F1为60°所对直角边,F2为30°所对直角边,大角对大边,小角对小边,选项B正确．【答案】B\n\n【名师点拨】理解并熟记两个特例：①同一平面,当三个力数值相等,互成120°角时,其合力为零．②两个分力数值相等,互成120°角时,其合力必与分力值相等,方向沿角平分线．\n【例4】用一根长1m的轻质细绳将一个质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上,已知绳能承受的最大张力为10N,为使绳不断裂,画框上两个挂钉的间距最大为(g取10m/s2)()\n\n【解析】熟练应用力的合成和分解以及合成与分解中的一些规律,是解决本题的根本；一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时,合力在分力的角平分线上,且两分力的夹角越大,分力越大．\n【答案】A\n【触类旁通】如图所示,已知物体重G,CB与BA夹角为30°,在均匀轻质棒AB的B端安一小定滑轮,轻质细绳一端固定在C点,另一端接重物G,细绳跨接定滑轮．求滑轮B端受到的压力．\n【解析】∵TBC＝TBG＝G,且互成120°.∴B端受到的压力NB＝G,方向与BA成30°斜向下．【答案】G方向与BA成30°斜向下\n\n三、力的分解1．计算依据力的分解是力的合成的逆运算,仍符合平行四边形定则．【名师点拨】一个力若没有条件限制,可以有无数组分解法,但对一个具体的实例,力的分解是唯一的．原因：力的作用效果是确定的．\n2．分解的实质把一个力分解为两个力的实质,是将这个力在客观上同时产生的,沿两个分力方向上产生的两种效果．只有把这两种客观存在的、带有方向性的效果,分析判断准确,才能做出符合要求的力的分解．\n【例5】斜面上物体所受的重力的分解①如图(一般情况)Gx＝________,Gy＝________.\n②如图(特殊情况)Gx＝________,Gy＝________.【答案】①GsinθGcosθ②GtanθG/cosθ\n【例6】单摆所受重力的分解①沿弧线的切线方向提供简谐运动的回复力：Gx＝________；②沿绳子方向拉紧绳子：Gy＝________.【答案】①Gsinθ②Gcosθ\n【例7】圆锥摆所受重力的分解：①沿水平方向提供圆周运动向心力Gx＝________；②沿绳方向拉紧绳子Gy＝________.【答案】①Gtanθ②G/cosθ\n【名师点拨】例5①图与例6图,例5②图与例7图中结论的相似性,从分解的方向性上看是必然的,不是偶然的巧合．\n【例8】(创新题)在水平地面上固定一光滑半球,半径为R,一个物体从半球顶端A自由滑下,求物体在多高处离开球面？【解析】物体离开球面时,球面对物体的弹力为零,此时物体只受重力,则重力分解如图所示．\n\n\n3．力的正交分解(1)作法与作用：所谓“正交分解”是把力沿两个经选定的互相垂直的方向进行分解的方法,其目的是便于运用代数运算公式来解决矢量的运算,是处理复杂的力的合成与分解问题上的一种较简便的方法．特别是应用在受力分析中,显得简便易行．\n(2)分解的原则：①让尽可能多的力坐落在坐标轴上,如图所示．②题目中若有加速度,则沿物体运动方向和垂直于运动方向分解．因为沿物体运动方向ax＝a,则∑Fx＝ma；垂直方向ay＝0,则∑Fy＝0.③从解决问题方便角度看,有些情况需要分解加速度．\n【例9】如图所示,质量为m的人站在自动扶梯上,扶梯正以加速度a向上加速运动,a与水平方向的夹角为θ,求人受的摩擦力大小和方向．\n【解析】对人受力分析如图所示,其中f方向的判断依据：a沿如图所示的x轴、y轴分解,说明必须有力产生ax,则f＝max＝macosθ,方向：水平向右．【答案】macosθ水平向右\n【触类旁通】为了节省能量,某商场安装了智能化的电动扶梯．无人乘行时,扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时,它会先慢慢加速,再匀速运转．一顾客乘扶梯上楼,恰好经历了这两个过程,如图所示．那么下列说法中正确的是()\nA．顾客始终受到三个力的作用B．顾客始终处于超重状态C．顾客对扶梯作用力的方向先指向左下方,再竖直向下D．顾客对扶梯作用力的方向先指向右下方,再竖直向下\n【解析】在慢慢加速的过程中顾客受到的摩擦力水平向右,电梯对其的支持力和摩擦力的合力方向指向右上方,由牛顿第三定律,知它的反作用力即人对电梯的作用方向指向左下方；在匀速运动的过程中,顾客与电梯间的摩擦力等于零,顾客对扶梯的作用力仅剩下压力,方向沿竖直向下．【答案】C\n【学法指导】(1)正交分解法分解的每一个力不一定按实际效果进行分解．分解原则①②③只是一般规律,对力的分解仍需要具体问题具体分析,灵活机动．(2)摩擦力的方向不是与运动方向相反,不能与图中的方向相反,应与相对运动趋势的方向相反,这里的判断运用牛顿运动定律法．\n求合力的方法1．图解法根据平行四边形定则,利用邻边及其夹角对角线长短的关系分析力的大小变化情况,此法具有直观、简便的特点,多用于定性研究．\n【例1】如图所示．三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上．a和c带正电,b带负电,a所带电量的大小比b的小．已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示,它应是()A．F1B．F2C．F3D．F4\n【答案】B\n2．解析法如图所示,在△OFF1中应用余弦定理,可得\n\n\n\n【答案】A\n【学法指导】虽然《考试说明》中没有平行四边形的解析法,但它是数学知识(余弦定理)在图形中的应用．掌握这种方法能够开拓我们的视野,使我们解决问题的思路更宽广,本题的其他解法由读者自己完成,再如“动量定理”“考试说明”只要会定性分析,不要求定量计算,但近几年的高考题多次考查了动量定理,因此,在平时的复习过程中,注意把握“考试说明”的度的问题．\n3．三角形定则三角形定则实质是平行四边形定则的变形,只是由于其特殊性,在解决矢量合成问题上显得简捷,我们才特别将其另列出来．\n如图所示,在△OAB中F1、F2、F合构成如图的矢量图,这三个矢量间的“组合”特点是：F1的尾连F2的首,而F1的首与F2的尾的连线就是合力F合．即F合为开始的首与最后的尾的连线．这种方法在分析力的极值问题上体现出了独特的优势．\n【例3】已知两个共点力的合力为50N,分力F1的方向与合力F的方向成30°角,分力F2的大小为30N．则()A．F1的大小是唯一的B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向D．F2可取任意方向\n【解析】由图形可知F2min＝Fsin30°＝25N,而F2＝30N>F2min,即F2有两个可能的方向,只有选项C是正确的．【答案】C\n【学法指导】力的矢量三角形定则分析力的极值问题的实质是数形结合求极值的一种方法．数形结合在数学中是常用的一种方法．实质上,所有矢量都可以利用这种数形结合的形式求极值．如在“小船渡河”问题中,当v船＜v水的情况下,求小船过河的最短距离即用此法,以v水矢量末端为圆心,以v船为半径作图,则过O点与圆相切直线OB为最短距离,如图所示．\n一、力的合成极值的拓展【例1】(创新题)有三个共面的共点力大小分别为2N、8N、7N,求其合力最大值及最小值各是多大？【解析】Fmax＝F1＋F2＋F3＝2N＋8N＋7N＝17NFmin＝0,因8N、7N二力的合力范围在〔1,15〕,2N在其内,因此,只要选取8N、7N两力夹角适当,总有8N、7N合力与2N等大反向,故三力合力为零,同理可分析其他情况．【答案】170\n【学法指导】三个共点力的极值是二个共点力极值的拓展,三力大小只要能构成三角形(即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边),由矢量的三角形定则可知,合力最小值为0,由此可以规律化．只要共面力大小能构成三角形,其合力最小值一定为零．特别提醒：若三力大小不能构成三角形,则无以上结论．如三力为2N、8N、12N,三力的合力最大值为22N,但最小值为2N.\n二、图形(象)的处理力的合成与分解遵循平行四边形定则,涉及到数学中的几何图形及以坐标或函数形式表达,因此,要善于利用几何图形的特点及坐标形式进行分析问题．\n【例2】作用在一个物体上的两个共点力的合力的大小随两力之间的角度变化的关系如图所示,则有()A．这两个力的合力的最大值为30NB．这两个力的合力的最小值为10NC．由该图象可确定两个分力大小值D．只能确定两分力值的范围,不能确定具体值\n【解析】不妨设分力F1＞F2,由图可知,当θ＝0或2π时,分力F1、F2在一条直线上同向,故有Fmax＝F1＋F2＝30N①当θ＝π时,分力F1、F2在一条直线上,反向,故有Fmin＝F1－F2＝10N②联立①②式,可得F1＝20N,F2＝10N,故选项A、B、C正确．【答案】ABC