力的合成和分解\n知识点一　力的合成1．合力与分力(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同,这一个力就叫做那几个力的________,那几个力叫做这一个力的________．(2)关系：合力与分力是________________关系．合力分力等效替代\n2．共点力作用在物体的同一点,或作用线的________交于一点的几个力．如图所示均为共点力．延长线\n3．力的合成(1)定义：求几个力的________的过程．(2)运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力,可以用表示这两个力的线段为________作平行四边形,这两个邻边之间的________就表示合力的大小和方向．如图甲所示,F1、F2为分力,F为合力．合力邻边对角线\n②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的首到第二个矢量的尾的________________为合矢量．如图乙,F1、F2为分力,F为合力．有向线段\n\n\n知识点三　矢量和标量1．矢量：既有大小又有______的物理量,叠加时遵循__________定则,如速度、力等．2．标量：只有大小没有______的物理量,求和时按________法则相加,如路程、速率等．方向平行四边形方向代数\n思考辨析(1)合力与原来那几个力同时作用在物体上．()(2)合力一定时,两等大分力间的夹角θ越大,两分力越小．()(3)两个力的合力不可能比其分力小．()(4)对力分解时必须按作用效果分解．()(5)区别矢量与标量的根本是遵守的运算法则．()××××√\n情境探究1.科技的发展正在不断地改变着我们的生活,图(甲)是一款放在水平桌面上的手机支架,其表面采用了纳米微吸材料,用手触碰无粘感,接触到平整光滑的硬性物体时,会牢牢吸附在物体上.图(乙)是手机静止吸附在该手机支架上的侧视图,若手机的重力为G,手机支架对手机的力有几个?其对手机的合力多大?方向向哪?答案:对手机受力分析,受重力、弹力、摩擦力和吸引力,可知手机支架对手机的力有三个.因手机静止,受力平衡,故手机支架对手机的三个力的合力与重力平衡,大小F合=G,方向竖直向上.\n2.减速带是交叉路口常见的一种交通设施,车辆驶过减速带时要减速,以保障行人的安全.当汽车前轮刚爬上减速带时,减速带对车轮的弹力为F,此弹力产生的作用效果是什么?如何把它按照力的作用效果进行分解?答案:减速带对车轮的弹力有两个作用效果,一个是与运动方向相反的阻力作用,另一个则是向上的作用效果,按照力的作用效果分解如图所示.\n3.图(甲)是某同学写字时的握笔姿势,图(乙)是他在握笔时把拇指和食指松开时的状态,笔尖仍然斜向下且笔保持静止状态.\n(1)两图中笔是否受到摩擦力的作用?图(甲)中手的握力越大,所受的摩擦力是否增大?(2)两图中手对笔的作用力多大?方向向哪?答案:(1)对图(甲)中的笔受力分析,受到手指的压力、重力、摩擦力,如果没有受到摩擦力,笔就会顺着手指滑下来;对图(乙)中的笔受力分析,受到重力、支持力,如果没有受到摩擦力,笔就会顺着手指滑下来,故两图中笔都受到静摩擦力的作用.静摩擦力和握力无关,故图(甲)中握力增大,摩擦力不会增大.(2)因为两图中的笔都处于静止状态,所以手对笔的作用力应与重力大小相等、方向相反,即竖直向上.\n教材改编1．[人教版必修1P64T2改编]有两个力，它们的合力为0.现在把其中一个向东6N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为()A．6NB．6NC．12ND．0答案：B\n2．[人教版必修1P66T2改编]一个竖直向下的180N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并等于240N,则另一个分力的大小为()A．60NB．240NC．300ND．420N答案：C\n考点一力的合成自主演练1．两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2,即两个力大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两力反向时,合力最小；当两力同向时,合力最大．2．三个共点力的合成(1)最大值：三个力共线且同向时,其合力最大,为F1＋F2＋F3.(2)最小值：任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围之内,则三个力的合力的最小值为零,如果第三个力不在这个范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．\n3.几种特殊情况的共点力的合成\n4.重要结论①两个分力一定时,夹角θ越大,合力越小.②合力一定,两等大分力的夹角越大,两分力越大.③合力可以大于分力、等于分力,也可以小于分力.\n[多维练透]1．如图所示,两人同时用大小相等的力沿不同方向拉小船,且两力关于小船轴线对称,下列几种情况中,合力最大的是()解析：合力与分力的关系遵循平行四边形定则,两等大分力夹角越小,合力越大,故选项A正确．答案：A\n2．如图所示，某物体在四个共点力作用下处于平衡状态，若将F4＝N的力沿逆时针方向转动90°，其余三个力的大小和方向不变，则此时物体所受合力的大小为()A．0B．2NC．2ND．N解析：物体在四个共点力作用下处于平衡状态，合力为零，F4的方向沿逆时针方向转过90°角，此时与其他三个力的合力大小相等，方向垂直，则物体受到的合力为F合＝F4＝2N，选项B正确，A、C、D错误．答案：B\n3.在平面内有作用于同一点的四个力,以力的作用点为坐标原点O,四个力的方向如图所示,其中F1＝6N,F2＝8N,F3＝4N,F4＝2N．这四个力的合力方向指向()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：F1＝6N，方向沿x轴的正向；F3＝4N，沿x轴负向；故F1与F3的合力F13沿着x轴的正方向，为2N；F2＝8N，沿y轴正向；F4＝2N，沿y轴负向；故F2与F4的合力F24为6N，沿着y轴正方向；最后再将F13与F24合成，故合力F1234为2N，指向第一象限，选项A正确，B、C、D错误．答案：A\n4．某物体同时受到2个共点力的作用,在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长均表示1N大小的力),物体所受合外力最大的是()答案：C\n解析：A图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3N，如图甲所示；B图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝N＝5N，如图乙所示；C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4N，如图丙所示；D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3N，如图丁所示，故选项C符合题意．\n\n(3)多个共点力的合成方法：\n考点二　力的分解1.力的分解常用的方法\n\n2.力的分解的唯一性分析(1)已知合力F和两分力的方向,两分力有唯一的确定值.按力F的作用效果分解,属于此类情况.(2)已知合力F和一个分力F1的大小与方向,另一分力F2有唯一的确定值.(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小,对力F进行分解,则有三种可能(F1与F的夹角为θ).如图所示:①F2<Fsinθ时无解.②F2=Fsinθ或F2≥F时有一组解.③Fsinθ<F2<F时有两组解.\n(1)力的分解问题的选取原则①选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定,一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常利用矢量三角形法或按作用效果进行分解,若这三个力中,有两个力互相垂直,可选用正交分解法.②当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法.(2)按作用效果分解力的一般思路反思总结\n力的效果分解法的步骤\n\n\n正交分解法的步骤\n考点二　力的分解师生共研题型1|效果分解法例1(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也,我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则()A．若F一定,θ大时FN大B．若F一定,θ小时FN大C．若θ一定,F大时FN大D．若θ一定,F小时FN大答案：BC\n解析：选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的力F和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的推力是相等的，力F的分解如图．则F＝FN1cos＋FN2cos＝2FN1cos＝2FN1sin，FN＝FN1＝FN2，故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大，A、D错误，B、C正确．\n题型2|正交分解法例2如图所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起，使绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，且绳绷紧，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为()A.mgB.mgC.mgD.mg解析：如图，建立直角坐标系，对沙袋进行受力分析．由平衡条件有：Fcos30°－FTsin30°＝0，FTcos30°＋Fsin30°－mg＝0，联立可解得：F＝mg，选项A正确．答案：A\n练1如图所示,被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G,则G的两个分力的方向分别是图中的()A．1和4B．3和4C．2和4D．3和2解析：小球的重力产生两个效果,一是使绳子拉伸,二是使斜面受压,故应按这两个方向分解,分别是3和4,故B正确,A、C、D错误．答案：B\n练2如图所示,建筑装修中工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨,当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时,磨石恰好沿斜壁向上匀速运动．已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ,斜壁与竖直方向的夹角为θ,则磨石受到的摩擦力是()A．(F－mg)cosθB．(F－mg)sinθC．μ(F－mg)cosθD．μ(F－mg)答案：A解析：分析磨石的受力情况,其受重力mg、弹力FN(垂直于斜壁向下)、摩擦力Ff(沿斜壁向下)、外力F四个力,沿斜壁和垂直于斜壁方向把这四个力正交分解,由于磨石处于平衡状态,在沿斜壁方向有mgcosθ＋Ff＝Fcosθ,垂直于斜壁方向有FN＋mgsinθ＝Fsinθ,Ff＝μFN,则Ff＝(F－mg)cosθ,选项A正确．\n练3如图所示,质量M＝60kg的人用绳子通过定滑轮拉着质量m＝10kg的物块一直保持静止不动．若不计绳与滑轮的摩擦,绳与竖直方向的夹角为α＝60°,g取10m/s2.下列说法中正确的是()A．人对地面的压力大小为550NB．地面对人的摩擦力大小为50NC．绳对滑轮的作用力大小为100ND．人的质量越大受到地面的摩擦力越大解析：绳子拉力总等于物块的重力100N，则有T′＝T＝mg，对人和滑轮分别进行受力分析如图所示，可得人对地面的压力大小为N′＝N＝Mg－mgcosα＝600N－50N＝550N，A正确；地面对人的摩擦力大小为f＝mgsinα＝100×N＝50N，B错误；对滑轮受力分析可得绳对滑轮的作用力大小为F＝2mgcos＝100N，C错误；改变人的质量，静摩擦力不变，D错误．答案：A\n考点三“死结”和“活结”模型多维探究题型1|“死结”模型“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点．“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．\n题型2|“活结”模型“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点．“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根．\n1.“死结”与“活结”模型的比较模型结构模型解读模型特点“死结”把绳子分为两段,且不可沿绳子移动,“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳“死结”两侧的绳子张力不一定相等“活结”把绳子分为两段,且可沿绳移动,“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成,绳子因“活结”而弯曲,但实际为同一根绳“活结”绳子上的张力大小处处相等\n例3如图,悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时,O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°,则β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°解析：O点受力如图因为甲、乙物体质量相等所以F1与F2大小相等,合成的平行四边形为菱形,α＝70°,则∠1＝∠2＝55°F1和F2的合力与F3等大反向,β＝∠2,故B正确．答案：B\n例4如图所示,细绳一端固定在A点,另一端跨过与A等高的光滑定滑轮B后悬挂一个砂桶Q(含砂子)．现有另一个砂桶P(含砂子)通过光滑挂钩挂在A、B之间的细绳上,稳定后挂钩下降至C点,∠ACB＝120°,下列说法正确的是()A．若只增加Q桶中的砂子,再次平衡后P桶位置不变B．若只增加P桶中的砂子,再次平衡后P桶位置不变C．若在两桶内增加相同质量的砂子,再次平衡后P桶位置不变D．若在两桶内增加相同质量的砂子,再次平衡后Q桶位置上升答案：C\n解析：对砂桶Q分析有，Q受到细绳的拉力大小FT＝GQ，设AC、BC之间的夹角为θ，对C点分析可知C点受三个力而平衡，由题意知，C点两侧的绳张力相等，故有2FTcos＝GP，联立可得2GQcos＝GP，故只增加Q桶中的砂子，即只增加GQ，夹角θ变大，P桶上升；只增加P桶中的砂子，即只增加GP，夹角θ变小，P桶下降，选项A、B错误；由2GQcos＝GP可知，当θ＝120°时有GQ＝GP，此时若在两砂桶内增加相同质量的砂子，上式依然成立，则P桶的位置不变，选项C正确，D错误．\n练4[2016·全国卷Ⅲ，17]如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为()A.B.mC．mD．2m解析：如图所示,由于不计摩擦,线上张力处处相等,且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心．由于a、b间距等于圆弧半径,则∠aOb＝60°,进一步分析知,细线与aO、bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究,悬挂小物块的细线张角为120°,由平衡条件知,小物块的质量与小球的质量相等,即为m.故选项C正确．答案：C\n\n“动杆”与“定杆”模型的比较模型结构模型解读模型特点“动杆”轻杆用光滑的转轴或铰链连接,轻杆可围绕转轴或铰链自由转动当杆处于平衡状态时,杆所受的弹力方向一定沿杆“定杆”轻杆被固定在接触面上,不发生转动杆所受的弹力方向不一定沿杆,可沿任意方向\n\n\n\n\n力的合成与分解在生产、生活中的应用(STSE问题)例1[生活]如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图,图中BC边为斧头背面,AB、AC边是斧头的刃面．要使斧头容易劈开木柴,则应()A．缩短BC边,AB边也缩短些B．BC边延长些,AB边缩短些C．BC边缩短些,但AB边延长些D．BC边延长些,AB边也延长些解析：如图所示,斧头劈柴的力形成对木柴两端的挤压力,两力与斧头的AB、AC边相互垂直；则可知当BC边缩短一些,AB边延长一些时两力之间的夹角更大,则两分力更大,更容易劈开木柴,故C正确．答案：C\n例2[体育]重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则()A．当θ＝60°时，运动员单手对地面的正压力大小为B．当θ＝120°时，运动员单手对地面的正压力大小为GC．当θ不同时，运动员受到的合力不同D．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等解析：运动员处于静止状态,即平衡状态,每只手都承受自身重力的一半,和角度无关,A正确,B、C错误；由牛顿第三定律知当θ不同时,运动员与地面间的相互作用力大小相等,D错误．误区警示：请注意审题：题目A、B两项问的是单手对地面的正压力即弹力的大小,故可用整体法直接快捷求解．答案：A\n例3[科技][2020·安徽皖北协作区4月联考]航母阻拦索用于拦停高速着舰的舰载机，被喻为“舰载机生命线”．如图所示为其结构简图，滑轮1、2、3、4及液压缸a、b、c固定在甲板平面上，阻拦索绕过滑轮组后闭合．某时刻舰载机的挂钩勾住阻拦索，形成图示的夹角时，舰载机受到阻拦索的合力大小为F.不考虑阻拦索、滑轮的质量及一切摩擦，则此时单个柱塞所受阻拦索的合力大小为()A.B.C．FD.F答案：B\n解析：某时刻舰载机的挂钩勾住阻拦索，形成图示的60°夹角，由于挂钩两侧阻拦索中拉力相等，由2F′cos30°＝F，解得阻拦索中的拉力F′＝.由于柱塞两侧阻拦索中拉力相等，其合力方向在两侧阻拦索拉力所成夹角的角平分线上，所以单个柱塞所受阻拦索的合力大小为F合＝2F′cos60°＝F′＝，选项B正确．