3向心加速度\n1.加速度是表示速度变化_____和_____的物理量,它等于______________________的比值.2.在直线运动中,v0表示初速度,v表示末速度,则速度变化量Δv=____.3.加速度公式a=____,单位是____,加速度方向与___________方向相同.4.在圆周运动中,线速度、角速度的关系式为________.快慢方向速度变化量与所用时间v-v0m/s2速度变化量v=ω·r\n一、感受圆周运动的向心加速度1.圆周运动必有加速度：圆周运动是_____运动,_____运动必有加速度.变速变速\n2.匀速圆周运动的加速度方向：实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力,方向指向_________,即为地球轨迹的_____小球受重力、支持力、拉力三个力,合力总是指向_____加速度分析由牛顿第二定律知,加速度方向与其合外力方向相同,指向_____太阳中心圆心圆心圆心\n二、向心加速度1.定义:做匀速圆周运动的物体具有的指向_____的加速度.2.大小:(1)an=____；(2)an=_____.3.方向:沿半径方向指向_____,与线速度方向_____.ω2r圆心圆心垂直\n【思考辨析】1.判断正误：(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变.()(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动.()(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变.()(4)根据a=知加速度a与半径r成反比.()(5)根据a=ω2r知加速度a与半径r成正比.()\n提示:(1)×.匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,所以其方向不断变化.(2)×.匀速圆周运动的加速度的方向时刻发生变化,加速度时刻发生变化,是变加速运动.(3)√.由于匀速圆周运动的线速度大小、角速度不变,由a=或a=ω2r知,匀速圆周运动的加速度的大小不变.(4)×.根据a=知,当线速度大小一定时,加速度a与半径r成反比.(5)×.根据a=ω2r知,当角速度大小一定时,加速度a与半径r成正比.\n2.问题思考：如图所示,小球在拉力作用下做匀速圆周运动,请思考：\n(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向一定指向圆心吗？提示：不恒定.小球的加速度总是沿着绳子方向指向圆心,所以其方向不断变化,加速度时刻发生变化.(2)若手握绳子的位置不变,增加小球的转速,则它的向心加速度大小如何变化？提示：根据a=ω2r知,当半径不变,角速度变大时,加速度a也变大.\n一对向心加速度的物理意义及方向的理解1.物理意义：描述线速度改变的快慢,只表示线速度的方向变化的快慢,不表示其大小变化的快慢.\n2.方向：做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量,它必然沿半径方向指向圆心,故称之为向心加速度.3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化,an的方向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动.“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”.\n【特别提醒】(1)在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度,方向一定指向圆心.(2)在变速圆周运动(速度大小变化)中,物体的加速度不一定指向圆心,该加速度沿圆心方向的分加速度就是向心加速度.\n【典例1】下列关于向心加速度的说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终指向圆心B.向心加速度的方向保持不变C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化\n【解题探究】(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量,向心加速度仅表示物体速度方向变化的快慢,不表示物体速度大小变化的快慢.(2)向心加速度方向为_____________.始终指向圆心\n【标准解答】选A.向心加速度的方向时刻指向圆心,线速度的方向时刻沿圆周的切线方向,故向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直,A正确；向心加速度的大小不变,方向时刻指向圆心,不断变化,故B、C、D错误.\n【变式训练】关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是()A．它描述的是线速度大小变化的快慢B．它描述的是线速度方向变化的快慢C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢D．它描述的是角速度变化的快慢【解析】选B.加速度始终与线速度方向垂直,故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢,不表示线速度的大小改变的快慢,A、D错误,B正确.圆周运动中,线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量,C错误.\n二对向心加速度公式的理解1.向心加速度公式：(1)基本式：①an=②an=ω2r.(2)拓展式：①an=②an=ωv.\n2.推导:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点的速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示.\n图乙中的矢量三角形与图甲中的三角形△OAB是相似三角形,用v表示vA和vB的大小,用Δl表示弦AB的长度,则有:所以加速度而当Δt趋近于零时,表示线速度的大小v,于是得到再由v=rω得an=ω2r.\n3.向心加速度大小与半径关系的理解：由an=知,当v一定时,an与r成反比；由an=ω2r知,当ω一定时,an与r成正比.如图所示：\n【特别提醒】向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动,且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心.\n【典例2】如图所示,皮带传动装置中,右边两轮连在一起共轴转动,图中三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑.向心加速度分别为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是()\n【解题探究】(1)A、B、C三点中：①角速度相等的点为_______；②线速度相等的点为_______.(2)解答该题要用的两个重要关系式：①向心加速度与线速度关系式：______；②向心加速度与角速度关系式：_______.B、C点A、B点a=ω2r\n【标准解答】选B、D.由于皮带不打滑,v1=v2,a=故A错,B对.由于右边两轮共轴转动,ω2=ω3,a=rω2,C错、D对.\n【总结提升】向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同.(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比.\n【变式训练】如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像,其中A为双曲线的一个分支,由图可知()A.A物体运动的线速度大小不变B.A物体运动的角速度大小不变C.B物体运动的角速度大小不变D.B物体运动的角速度与半径成正比\n【解析】选A、C.因为A为双曲线的一个分支,说明a与r成反比,由a=可知,A物体的线速度大小不变,故A对,B错;而OB为过原点的直线,说明a与r成正比,由a=ω2r可知,B物体的角速度大小不变,故C对,D错.\n【变式备选】一个做匀速圆周运动的物体,它的转速如果增加到原来的4倍,轨道半径变为原来的则向心加速度为()A.与原来的相同B.原来的4倍C.原来的8倍D.原来的16倍【解析】选B.根据题意,ω2=4ω1,r1=4r2,由于a=ω2r,故B正确.\n【典例】如图所示,定滑轮的半径r=2cm,绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物,重物由静止开始释放,测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动,在重物由静止下落1m的瞬间,定滑轮边缘上的点的角速度多大?向心加速度多大?\n【标准解答】定滑轮边缘点的线速度与物体的速度大小相等,下落1m时为v==2m/s由v=ωr得定滑轮边缘点的角速度ω==100rad/s,向心力加速度a==200m/s2.答案：100rad/s200m/s2\n圆周运动的向心加速度与合加速度在一般圆周运动中,合加速度通常有两个分量：切向加速度和向心加速度.切向加速度表示速度大小变化的快慢；向心加速度表示速度方向变化的快慢.(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度.\n(2)如图所示的变速圆周运动,到达C点时,小球受绳水平拉力T和重力mg,合力斜向右下方,即小球的合加速度斜向右下方.它沿T方向(径向)的加速度即为向心加速度.\n【案例展示】关于向心加速度,以下说法中正确的是()A.物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度B.物体做圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度C.物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心\n【标准解答】选A、D.物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度;物体做变速圆周运动时,向心加速度只是合加速度的一个分量,A正确,B错误.物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心;物体做变速圆周运动时,圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心,C错误,D正确.\n【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下:易错选项错误原因B误认为变速圆周运动中向心加速度就是合加速度,导致错选B.实际上变速圆周运动中既有向心加速度,也有切向加速度C误将做圆周运动的物体的加速度与向心加速度混为一谈.实际上,物体做变速圆周运动时的合加速度是向心加速度与切向加速度的矢量和\n1.(基础理论辨析题)下列关于向心加速度的说法中,正确的是()A.向心加速度的方向始终指向圆心B.向心加速度随半径的增大而增大C.在匀速圆周运动中,向心加速度随半径的减小而增大D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不变化E.地球表面各处具有相同大小的向心加速度F.地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心\n【解析】选A、D.向心加速度的方向始终指向圆心,即始终与速度的方向垂直,故向心加速度的方向时刻发生变化,故向心加速度一定是变量,A对;当物体做匀速圆周运动的线速度与角速度不确定时,向心加速度与半径的关系也不确定,故B、C错;匀速圆周运动的线速度大小不变,由an=知做匀速圆周运动物体的向心加速度大小不变,D对;地球表面各处的角速度相同,运动半径不一定相等,由an=ω2r知,地球表面各处的向心加速度大小不一定相等,E错;地球表面各处的向心加速度方向都指向其做圆周运动的圆心,但不一定指向地球球心,F错.\n2.如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置.P是轮盘的一个齿,Q是飞轮上的一个齿.下列说法中正确的是()A.P、Q两点角速度大小相等B.P、Q两点向心加速度大小相等C.P点向心加速度小于Q点向心加速度D.P点向心加速度大于Q点向心加速度【解析】选C.P、Q两点线速度大小相等,由ω=知,ω∝ωP<ωQ,A错；由a=知,a∝aP<aQ,C对,B、D错.\n3.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动,A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍,A的转速为30r/min,B的转速为15r/min.则两球的向心加速度之比为()A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1【解析】选D.由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB=nA∶nB=2∶1,所以两小球的向心加速度之比aA∶aB==8∶1,D正确.\n4.如图所示为摩擦传动装置,B轮转动时带动A轮跟着转动,已知转动过程中轮缘间无打滑现象,下述说法中正确的是()A．A、B两轮转动的方向相同B．A与B转动方向相反C．A、B转动的角速度之比为1∶3D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1\n【解析】选B、C.A、B两轮属齿轮传动,A、B两轮的转动方向相反,A错,B对.A、B两轮边缘的线速度大小相等,由ω=知,C对.根据a=得,D错.\n5.滑板运动是深受青少年喜爱的运动,如图所示,某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的1/4圆弧轨道,该圆弧轨道在C点与水平轨道相接,运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力).【解析】运动员到达C点前的瞬间做圆周运动,加速度大小a==50m/s2,方向在该位置指向圆心,即竖直向上.运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动,加速度为0.答案：50m/s2,方向竖直向上0\n6.排风扇的转速为n=1440r/min,则它转动的角速度大小是多少?已知扇叶半径为r=10cm,扇叶边缘处一点的向心加速度的大小是多少?【解析】由题意可知n=1440r/min=24r/s,r=0.1m.根据ω=2πn,可得ω=48πrad/s,又根据an=ω2r,可得an=230.4π2m/s2.答案:48πrad/s230.4π2m/s2