第一章　机械振动1.简谐运动\n一、机械振动1.弹簧机械振动:物体(或物体的某一部分)在_________两侧所做的_____运动,简称_____,这个位置称为平衡位置.2.振动特点:(1)普遍存在的运动形式.(2)振动是一种往复运动,具有_______和_______.某一位置往复振动周期性往复性\n【想一想】平衡位置是否为合外力为零的位置?提示:平衡位置是回复力为零的位置,合外力不一定为零.\n二、简谐运动1.弹簧振子模型:如图所示,如果小球与杆之间的摩擦_________,弹簧的质量比小球的质量小得多,也可以_________,则该装置为弹簧振子.其中的小球常称为_____.忽略不计忽略不计振子\n2.回复力:(1)定义:振动的物体偏离平衡位置时,都会受到的一个指向_________的力.(2)回复力与位移的关系:F=____.3.简谐运动:如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成_____,并且总指向_________,则物体所做的运动叫作简谐运动.做简谐运动的振子称为_______.平衡位置-kx正比平衡位置谐振子\n【判一判】(1)弹簧振子通过平衡位置时弹簧的弹力一定为零.()(2)弹簧振子是一种理想化模型.()(3)水平和竖直方向的弹簧振子提供回复力的方式不同.()\n提示:(1)×.水平方向的弹簧振子通过平衡位置时弹簧的弹力为零,竖直方向的弹簧振子通过平衡位置时弹簧的弹力等于重力.(2)√.弹簧振子中弹簧的质量和摩擦忽略,把振子(小球)看作质点,弹簧振子是一种理想化模型.(3)√.水平方向弹簧振子的回复力由弹簧的弹力提供,竖直方向弹簧振子的回复力由弹簧弹力与振子(小球)重力的合力提供.\n三、描述振动的物理量1.振幅(A):(1)定义:振动物体离开平衡位置的_________,用A表示,国际单位为米(m).(2)物理意义:描述振动_____的物理量.最大距离强弱\n2.周期(T)和频率(f):内　容周　期频　率定　义做简谐运动的物体完成一次_______所用的时间单位时间内完成_______的次数单　位_______________物理含义都是表示_________的物理量联　系T=____全振动全振动秒(s)赫兹(Hz)振动快慢\n【判一判】(1)振幅就是指振子的位移.()(2)振幅就是指振子的路程.()(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程.()\n提示:(1)×.振幅是振子离开平衡位置的最大距离,数值上等于最大位移的绝对值.(2)×.振幅是振子离开平衡位置的最大距离,路程是振子振动过程中走过的总距离,二者意义不同.(3)√.振子以相同的速度相继通过同一位置时,所经历的过程才是一次全振动.\n四、简谐运动的能量1.振动系统的状态与能量的关系:一般指振动系统的________,振动的过程就是_____和_____互相转化的过程.(1)在最大位移处,_____最大,_____为零.(2)在平衡位置处,_____最大,_____最小.(3)在简谐运动中,振动系统的机械能_____,因此简谐运动是一种理想化模型.机械能动能势能势能动能动能势能守恒\n2.决定能量大小的因素:振动系统的机械能跟_____有关,_____越大,机械能就越大,振动越强.对于一个确定的简谐运动来说它是_____振动.振幅振幅等幅\n【想一想】在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有几个?动能最大的位置有几个?\n提示:在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有两个,分别对应于振子运动的最左端和最右端.动能最大的位置只有一个,就是弹簧振子运动到平衡位置的时候.\n知识点一　简谐运动的位移、速度和加速度思考探究:如图所示,弹簧一端固定,另一端同物体相连接.物体放在光滑的水平面上能够自由滑动,静止时物体处于O点.现把物体从O点右侧的A点由静止释放,物体将做往复运动.\n(1)物体的位移怎样变化?(2)物体受到的弹力、加速度怎样变化?\n提示:(1)物体在向O点靠近的过程中位移减小,在远离O点的过程中位移增大,在平衡位置O点附近做周期性变化.(2)弹力和加速度都与位移的大小成正比,也在平衡位置附近做周期性变化.\n【归纳总结】1.对三个概念的理解:(1)位移:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某一时刻振子的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示.\n(2)速度:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量.在所建立的坐标轴(也称为"一维坐标系")上,速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反.(3)加速度:做简谐运动的物体的加速度a=由于弹簧振子的形变量x不断变化,所以简谐运动是变加速运动.振子在通过平衡位置处时,加速度的大小为零,方向改变.\n2.各物理量的变化规律:(1)变化规律:当物体做简谐运动时,它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep及振动能量E遵循一定的变化规律,可列表如下:\n物理量过程xFavEkEpE远离平衡位置运动增大增大增大减小减小增大不变最大位移处最大最大最大零零最大不变靠近平衡位置运动减小减小减小增大增大减小不变平衡位置零零零最大最大最小不变\n(2)两个转折点:①平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点.②最大位移处是速度方向变化的转折点.(3)一个守恒:简谐运动过程中动能和势能之间相互转化,但系统的机械能守恒.\n【特别提醒】(1)简谐运动的位移总是以平衡位置为起点,大小等于由平衡位置到物体所在位置的距离,方向由平衡位置指向物体所在的位置.(2)弹簧振子的回复力不一定是弹簧的弹力:水平方向的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力,竖直方向的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和振子所受重力的合力.\n【典例示范】弹簧振子在做简谐运动时,若某一过程中振子的速率在减小,则此时振子的运动()A.速度与位移方向一定相反B.加速度与速度方向可能相同C.位移可能在减小D.回复力一定在增大\n【解题探究】(1)振子速率减小时,质点运动的方向与位移方向有什么联系?提示:振子速率减小时,说明质点在远离平衡位置,速度与位移方向一定相同.\n(2)回复力、加速度与位移有什么关系?提示:做简谐运动的物体所受的回复力与位移成正比,方向相反,再根据牛顿第二定律可知回复力、加速度与位移的大小成正比,方向相反.\n【解析】选D.当振子速率减小时,说明质点在远离平衡位置,速度与位移方向一定相同,选项A错误;对于减速运动来说,加速度必定与速度方向相反,选项B错误;由于正在远离平衡位置,故位移必定变大,选项C错误;由F=kx可知位移变大,回复力必定增大,选项D正确.\n【过关训练】1.(多选)关于简谐运动的认识,下列说法正确的是()A.简谐运动不一定是水平方向的运动B.所有的振动都可以看作是简谐运动C.做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大,振子的位移越来越大D.做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大,振子速度方向与位移方向相反\n【解析】选A、D.物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生,各个方向都有可能发生,A对;简谐运动是最简单的振动,只有振动的回复力满足F回=-kx才是简谐运动,B错;弹簧振子在某段时间内速度越来越大,说明振子向平衡位置运动,故位移越来越小,C错;速度增大时,方向指向平衡位置,位移方向是背离平衡位置的,所以速度方向与位移方向相反,D对.\n2.(多选)做简谐运动的振子每次通过同一位置时,相同的物理量是()A.速度B.加速度C.质量与速度乘积D.动能\n【解析】选B、D.做简谐运动的振子每次通过同一位置时,速度的方向不一定相同,故A、C错误.但速率相同,则振子每次通过同一位置时的动能相同,D正确.振子每次通过同一位置时位移和所受的力相同,所以加速度相同,B正确.\n【补偿训练】把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是()A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功D.小球从B到O的过程中,振动的能量不断增加\n【解析】选A.小球在平衡位置时动能最大,加速度为零,因此A选项正确.小球靠近平衡位置时,回复力做正功,远离平衡位置时,回复力做负功.振动过程中总能量不变,在最大位移处加速度最大,动能为零,因此B、C、D选项不正确.\n【规律方法】判断物体做简谐运动的方法(1)物体静止时的位置即为平衡位置,找出平衡位置,并规定正方向.(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对物体进行受力分析.\n(3)对力沿振动方向进行分解,并求出沿振动方向的合外力.(4)判定沿振动方向上的合外力与位移的关系是否符合F=-kx即可.\n知识点二　简谐运动的振幅、周期和频率思考探究:如图所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm.若振子从B到C的运动时间是1s.\n(1)振子运动的周期、振幅分别为多大?(2)以B为计时起点,经过3s,振子通过的路程多大?此时振子的位移多大?\n提示:(1)振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1s=2s,振幅A=BO=OC=5cm.(2)振子在一次全振动中通过的路程s=4A=20cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程s=1.5×4A=1.5×20cm=30cm;t=3s时振子位于C点,位移大小为5cm.\n【归纳总结】1.路程与振幅的关系:(1)一个周期内的路程为振幅的4倍.(2)半个周期内的路程为振幅的2倍.2.周期(或频率)与振幅的关系:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.\n3.振动系统的能量和振幅的关系:对于一个确定的振动系统来说,系统的能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统的能量就越大.\n【特别提醒】(1)做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程不一定就是一次全振动,只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程,才完成一次全振动.(2)振子在一个周期内通过的路程为4A,在半个周期内通过的路程为2A,但在四分之一周期内通过的路程不一定为A,是否为A与起点有关.\n【典例示范】一质点做简谐运动,振幅是4cm、频率是2.5Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经2.5s质点的位移和路程分别是(选初始运动方向为正方向)()A.4cm,24cmB.-4cm,100cmC.0,100cmD.4cm,100cm\n【解题探究】(1)振动周期与频率有什么关系?提示:振动周期与频率互为倒数关系,即T=.(2)振动物体完成一次全振动通过的路程与振幅有什么关系?提示:振动物体完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍.\n【正确解答】选D.因为周期和频率是倒数关系,频率是2.5Hz周期为0.4s;所以2.5s的时间内质点完成了六次全振动余0.1s,0.1s质点恰从平衡位置向正方向运动到最大位移处.所以质点的位移是4cm;路程是4×4×6cm+4cm=100cm.故选项D正确.\n【过关训练】1.(多选)下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是()A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处B.周期和频率的乘积是一个常数C.振幅增大,周期也增大,而频率减小D.在自由状态下,做简谐运动的物体的频率是固定的,与振幅无关\n【解析】选B、D.振幅是一个标量,没有方向,选项A错误;周期和频率互为倒数,其乘积是1,选项B正确;在自由状态下,振动物体的周期与振幅的大小无关,只由振动物体本身的性质决定,故选项C错误,选项D正确.\n2.一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点,历时0.5s,如图所示.过B点后再经过t=0.5s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是()A.0.5sB.1.0sC.2.0sD.4.0s\n【解析】选C.根据题意,由振动的对称性可知A、B的中点(设为O)为平衡位置(如图),A、B两点对称分布于O点两侧;质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=×0.5s=0.25s;质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD=×0.5s=0.25s,所以质点从O到D的时间tOD=T=0.25s+0.25s=0.5s,所以T=4×0.5s=2s,正确的选项为C.\n【补偿训练】如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20cm,振子由A到B的时间为0.1s,则下列说法中正确的是()\nA.振子在A、B两点时,弹簧弹力大小相等B.振子由A到O的时间比振子由O到B的时间短C.振子完成一次全振动通过的路程为20cmD.若使振子在AB=10cm间振动,则振子由A到B的时间仍为0.1s\n【解析】选D.在A、B两点,弹力大小并不相等,但回复力相等,故A错误;据对称性,振子从A到O和从O到B时间相同,B错误;一次全振动的路程为4A=40cm,C错误;由于周期不变,仍为0.2s,A到B仍用时0.1s,D正确.\n【规律方法】求解简谐运动路程的方法技巧(1)振动物体在一个周期内的路程一定为4倍振幅,则在n个周期内的路程为n·4A.(2)振动物体在半个周期内的路程一定为2倍振幅.(3)振动物体在内的路程可能等于一个振幅,可能小于一个振幅,也可能大于一个振幅.只有当的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时,内的路程才等于一个振幅.\n知识点三　简谐运动的对称性思考探究:如图所示,物体在A与B之间做简谐运动,O点为平衡位置,任取C、D两点关于O对称.\n(1)物体每次经过C点时,位移、回复力、加速度、速度的大小和方向有什么关系?(2)物体分别经过C点和D点时的位移、回复力、加速度、速度的大小和方向有什么关系?\n提示:(1)物体每次经过C点时,位移、回复力、加速度一定相同;速度大小一定相等,方向有可能相同,也可能相反.(2)物体分别经过C点和D点时的位移、回复力、加速度大小相等,方向相反;速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.\n【归纳总结】简谐运动是物体在平衡位置附近做的往复运动,其运动具有对称性的特点.物理情境时间的对称tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tCO=tOC,tDB=tBD=tAC=tCA\n速度的对称(1)物体连续两次通过同一点(非最大位移的点,如图中的D点)的速度大小相等,方向相反(2)物体经过关于O对称的两点(非最大位移的点,如图中的C点与D点)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反动能对称(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的动能相等(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的动能相等\n位移、回复力、加速度对称(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)位移、回复力、加速度大小相等、方向相同(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的位移、回复力、加速度大小相等、方向相反\n【特别提醒】(1)振子经过同一位置时,位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同,速度方向可能相同,也可能相反.(2)振子分别通过关于平衡位置O对称的两点时,位移、回复力、加速度大小相等,方向相反;速度大小相等,方向可能相同,也可能相反;动能一定相等.\n【典例示范】一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是()A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值B.振子通过平衡位置时,速度为零,加速度最大\nC.振子每次通过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同D.振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同\n【解题探究】(1)弹簧振子的加速度有什么特点?提示:弹簧振子加速度的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反.(2)弹簧振子通过同一位置时,速度的方向一定相同吗?提示:不一定,可能相同,也可能相反.\n【正确解答】选D.弹簧振子做简谐运动时,加速度方向与位移方向总是相反,若位移为负值,加速度一定为正值,而速度方向不能确定,可能为正值,也可能为负值,A错误;振子通过平衡位置时,速度最大,加速度为零,B错误;振子每次通过平衡位置时,加速度为零,由于速度有两种方向,所以速度可能相同,也可能相反,C错误;振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但回复力相同,加速度一定相同,D正确.\n【过关训练】1.弹簧振子做简谐运动,第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同,那么,下列说法正确的是()A.振子在M、N两点受回复力相同B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同C.振子在M、N两点加速度大小相等D.从M点到N点,振子先做匀加速运动,后做匀减速运动\n【解析】选C.经过M、N两点时速度v(v≠0)相同,M、N两点必关于O点对称,振子位移应大小相等、方向相反,回复力(加速度)也应大小相等、方向相反,所以A、B错误,C正确;振子做简谐运动时,加速度做周期性变化,所以从M点到N点,振子不可能做匀加速运动或匀减速运动,D错误.\n2.一弹簧振子由平衡位置开始做简谐运动,并把此时作为计时零点,其周期为T.则振子在t1时刻(t1<)与t1+时刻相比较,相同的物理量是()A.振子的速度B.振子的加速度C.振子的回复力D.振子的动能\n【解析】选D.对于相差半个周期的两个时刻,振动的位移等大反向,速度等大反向,加速度等大反向,回复力等大反向,动能等大,故选项D正确.\n【补偿训练】1.(多选)一水平的弹簧振子,以平衡位置O点为中心,在A、B两点间做简谐运动,则()A.振子在O点时的速度和加速度都达到最大值B.振子的速度方向改变时,位移方向即改变C.振子的加速度值变大时,速度值一定变小D.振子从A点运动到AO的中点,再运动到O点,两段位移运动的时间不相等\n【解析】选C、D.振子在O点时速度达到最大值,加速度为零,A选项错误;振子的速度方向改变时,位移方向不变,只是从最大值开始减小,B选项错误;振子的加速度变大时,振子在向最大位移处运动,振子的速度一定是变小的,C选项正确;振子从A点运动到O点的过程中,速度逐渐增大,发生相等位移运动时间并不相等,D选项正确.\n2.如图所示,轻质弹簧一端固定在地面上,另一端与一薄板连接,薄板的质量不计,板上放一重物.用手将重物往下压,然后突然将手撤去,则重物被弹离之前的运动情况是()A.加速度一直增大B.加速度一直减小C.加速度先减小后增大D.加速度先增大后减小\n【解析】选C.竖直方向的弹簧振子的振动也是简谐运动,但它的平衡位置在重力与弹力相等的位置,此位置加速度为零.因此从平衡位置将弹簧压缩以后放手,它的加速度是先减小,到达平衡位置以后再增大,故选C.\n【误区警示】分析简谐运动物理量时应注意的问题(1)简谐运动的对称性主要体现在六个物理量上,即位移、速度、加速度、回复力、动能、势能,这六个量中前四个量是矢量,不仅要注意它们的大小,还要注意它们的方向.(2)竖直弹簧振子的势能应是振动物体重力势能和弹性势能的总和.\n【拓展例题】考查内容:简谐运动的综合应用【典例示范】如图所示,在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M>m)的D、B两物体.木箱放在水平地面上,平衡后剪断D、B间的连线,此后D将做简谐运动.当D运动到最高点时,木箱对地面的压力为()A.MgB.(M-m)gC.(M+m)gD.(M+2m)g\n【正确解答】选A.当剪断D、B间的连线后,物体D与弹簧一起可看成弹簧振子,它们将做简谐运动,其平衡位置就是弹力与D的重力平衡时的位置.初始运动时D的速度为零,故剪断D、B间连线的瞬间,D所受到的弹力还没来得及变化,弹簧在没有剪断D、B间的连线时的伸长量为x1=,在振动过程中,在平衡位置时的伸长量为x2=,故振子在振动过程中,离开平衡位置的最大位\n移是A=x1-x2=.D物体在运动过程中,能上升到的最大高度是其位移为A的高度,由于D在振动过程中,平衡位置在弹簧自由长度以下处,刚好弹簧的自由长度处就是物体D运动的最高点,说明了当D运动到最高点时,D对弹簧无作用力,故木箱对地面的压力为木箱的重力Mg.