简谐运动的回复力和能量\n1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成________,并且总是指向______________,质点的运动就是简谐运动.2．回复力的特点：力的方向总是指向________,作用总是要把物体________平衡位置.3．理论上可以证明,如果摩擦等阻力造成的损耗可以忽略,在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是________,这与机械能守恒定律________.\n答案：1．正比　平衡位置2．平衡位置　拉回3．一定的　相一致\n知识点1简谐运动的回复力(1)简谐运动的判断如果质点所受的力与偏离平衡位置位移的大小成正比,并且方向总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动.(2)回复力：振动物体偏离平衡位置后,所受到的使它回到平衡位置的力叫做回复力.\n(3)回复力是根据力的作用效果命名的,它可以是某个力、或几个力的合力、或某个力的分力,物体沿直线振动时回复力就是合力,沿圆弧振动时回复力是合力在圆弧切线方向上的分力.(4)回复力的方向总是指向平衡位置,回复力为零的位置就是平衡位置(沿圆弧振动时,物体经平衡位置时回复力为零,但合力不一定为零).(5)回复力公式：F＝－kx,即回复力大小跟位移大小成正比,方向跟位移方向相反.\n注意：①负号表示回复力的方向是与位移方向相反.②k为F与x的比例系数,对弹簧振子k为劲度系数.③对水平方向振动的弹簧振子,回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子,回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供.④物体做简谐运动到平衡位置时,回复力为0(但合力可能不为0).⑤回复力大小随时间按正弦曲线变化.\n图11－3－1\n当系统的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共同加速度a′,对系统有kx＝(mA＋mB)a′①\n【思维点悟】此题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念,其解题关键是合理选取研究对象,在不同的研究对象中回复力不同.此题最后要求把摩擦力Ff与位移x的关系用函数来表示,要将物理规律与数学有机结合.\n对应练习1．一质量为m的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图11－3－2所示.图11－3－2\n(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；(2)该小球的振动________(填“是”或“否”)为简谐运动；(3)在振子向平衡位置运动的过程中()A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小\n解析：(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力.(2)设振子的平衡位置为O,向下方向为正方向,此时弹簧已经有了一个伸长量h,设弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得kh＝mg①当振子向下偏离平衡位置的距离为x时,回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②\n将①代入②式得：F回＝－kx,可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,该振动系统的振动是简谐运动.(3)振子位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移,因而向平衡位置运动时位移逐渐减小,B错；而回复力与位移成正比,故回复力也减小,A错；由牛顿第二定律a＝F/m得,加速度也减小,D对；物体向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,故物体的速度逐渐增大,C错.答案：(1)弹簧的弹力与重力的合力(2)是(3)D\n知识点2简谐运动的能量(1)如果摩擦等阻力造成的损耗可以忽略,在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,这与机械能守恒定律相一致.(2)简谐运动中的能量跟振幅有关,振幅越大,振动的能量越大.(3)在振动的一个周期内,动能和势能间完成两次周期性变化,经过平衡位置时动能最大,势能最小；经过最大位移处时,势能最大,动能最小.\n1.简谐运动的判定方法(1)简谐运动的位移—时间图象是正弦曲线或余弦曲线.(2)简谐运动物体所受的力满足F＝－kx,即回复力F与位移x成正比且方向总相反.用F＝－kx判定振动是否是简谐运动的步骤：①对振动物体进行受力分析；②沿振动方向对力进行合成与分解；③找出回复力,判断是否符合F＝－kx.\n【例2】一质量为m,侧面积为S的正方形木块放在水面上静止(平衡),如图11－3－3所示.现用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力,木块在水面上下振动,试判别木块的振动是否为简谐运动.图11－3－3\n【答案】见解析【解析】木块为研究对象,设静止时木块浸入水中Δx深,当木块被压入水中x后所受力如图11－3－4所示,则图11－3－4\nF回＝mg－F浮①又F浮＝ρgS(Δx＋x)②由①式和②式,得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx.因为mg＝ρgSΔx,所以F回＝－ρgSx.即F回＝－kx(k＝ρgS).所以木块的振动为简谐运动.\n2．简谐运动的对称性做简谐运动的物体,运动过程中各物理量关于平衡位置对称,以水平弹簧振子为例,物体通过关于平衡位置对称的两点,加速度大小相等、速率相等、动能、势能相等.对称性还表现在过程量的相等上,如从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等.质点从某点向平衡位置运动到达平衡位置的时间,和它从平衡位置再运动到这一点的对称点所用的时间相等.\n【例3】如图11－3－5所示,弹簧下面挂一质量为m的物体,物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长.则物体在振动过程中()图11－3－5\nA．物体在最低点时的弹力大小应为2mgB．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变C．弹簧最大弹性势能等于2mgAD．物体的最大动能应等于mgA【答案】A、C【解析】根据对称性可知,在最低点的加速度大小等于最高点的加速度g,最低点时弹力大小为2mg,弹簧的弹性势能、重力势能及动能的总和不变；最大弹性势能等于重力势能的最大减少量2mgA；mgA大于最大动能.