单摆的等效问题\n在通常情况下，很多物体的运动模型可等效为单摆模型，单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效单摆的周期公式可以广义地表示为式中L’为等效摆长，g’为等效重力加速度\n一.等效单摆摆长1.所谓摆长意味着悬点到摆动物体重心间的距离。2.几种常见的摆圆槽摆钉摆圆锥摆\n1.一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有一钉子,则这个单摆的周期是多少？钉摆\n2.一摆长为L的单摆，在悬点正下方（L－L”）的P处有一钉子，如图所示，这个单摆的周期是两边摆角均很小）（）A.B.C.D.D\n3.设光滑圆弧槽的半径为Ｒ，小球半径为r，摆角小于10°，求周期。圆槽摆\n4.如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始释放，问哪一个小球先到A点？简析：B球到A点时间用自由落体运动规律求解，其时间：C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径R为等效摆长。第一次到达A点用单摆周期公式：即B球先到。\n讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？分析：B球下落时间为：又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h值亦应有多解：\n5.如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐运动，为使振动周期变为原来的2倍，可采用的方法（）A.小球的质量减为原来的一半B.振幅变为原来的2倍C.圆槽半径变为原来的4倍D.将小球重力势能减为原来的一半C\n\n二.等效重力加速度等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之比，即求g’的基本步骤如下：（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。（2）计算摆球的视重。（3）利用g’=F/m求出视重加速度。\n应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周期不变。\n6.如图所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过θ角。若绳长为l，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（）A.B.C.D.解析：平衡时摆球受重力mg，风力F1,线的拉力F2由力的平衡可得，摆球的视重为等效重力加速度为所以摆的周期为B\n7.用一根细线，长为l，将一个密度ρ=0.8×103Kg/m3的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。解析：设摆球的体积为V，则质量为m=ρV摆球在水中平衡时受重力mg、拉力F2、浮力F1作用，如图所示。由力的平衡条件可得\n等效重力加速度为摆在水中的周期为摆在空气中的周期为\n8.在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。简析：单摆在升降机中摆动周期为：等效重力加速度若升降机以加速度a匀加速下降可见在升降机中加速（或加速）上升（或下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度.\n另外几种常见情形：（1）在水平加速运动的车厢内若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由O变到了O’，等效重力加速度为则振动周期为\n（2）在斜面上加速运动的车厢内如图所示，当小车沿倾角为θ的光滑斜面自由滑下时，单摆的周期为比小车静止时要大\n（3）光滑斜面上的单摆如图所示，单摆一端系于倾角为θ的光滑斜面上，产生回复力的是的切向分力，等效重力加速度为周期为\n（4）复合场中的单摆若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中，如图所示，则得到最常见的复合场。若摆球带负电，则：若摆球带正电，则：当mg=Eq时，单摆停摆。若电场方向改为水平，同理分析可得。\n（5）在匀速运动的卫星内因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，单摆停摆。\n三、等效单摆周期1.如图中两单摆的摆长均为L=1m，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运动，以mAmB分别表示两摆球A、B的质量，g取10m/s2，则A.如果mA>mB，下次碰撞发生在平衡位置的右侧B.如果mA<mB,下次碰撞发生在平衡位置的左侧C.该组合摆的周期T合=π秒D.无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧解析：因两摆摆长相等，故两摆球的周期相等（T=2π），所以两球同时到达平衡位置，在平衡位置发生第二次碰撞，且每隔T/2即π秒时间，该组合摆完成一次全振动。故答案应选C、D。\n2.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。分析与解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：