等式性质与不等式性质A级——基础过关练1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是(　　)A．B．C．D．【答案】D　【解析】由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y>380；z超过45，即z>45.2．(2020年北京高一期中)已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是(　　)A．|a|＜|b|B．＜C．－a＞－bD．a2＜b2【答案】B　【解析】因为a＞b＞0，所以|a|＞|b|，＜，－a＜－b，a2＞b2.故选B．3．(2020年上海闵行区高一期中)若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是(　　)A．a＋b＞cB．＜C．a|c|＞b|c|D．＜【答案】B　【解析】A错误，如－4＞－5＞－6，得出－4－5＜－6.B正确，因为a－c＞b－c＞0，所以＜.C错误，如|c|＝0时，a|c|＝b|c|.D错误，ab2－a2b＝ab(b－a)，当ab(b－a)＝0时，ab2＝a2b，所以＝.故选B．4．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)A．M>NB．M<NC．M＝ND．M≥N【答案】A　【解析】因为0<a1<1,0<a2<1，所以－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N.5．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是(　　)5 A．0<2α－<B．－<2α－<C．0<2α－<πD．－<2α－<π【答案】D　【解析】由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，所以－≤－≤0.由同向不等式相加，得－＜2α－＜π.6．(2021年湖北高一期中)若a∈R，且a2－a＜0，则a，a2，－a，－a2从小到大的排列顺序是________．【答案】－a＜－a2＜a2＜a　【解析】因为a2－a＜0，所以0＜a＜1，－a2－(－a)＝－(a2－a)＞0，所以－a2＞－a，所以－a＜－a2＜0＜a2＜a.7．(2020年潍坊月考)已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应实数轴上两点A，B，则点A在点B的________(填“左边”或“右边”)．【答案】左边　【解析】a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)＝－x2－x－1＝－2－＜0，所以a＜b.所以A在点B的左边．8．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)设汽车行驶的速度为vkm/h，则限速80km/h应表示为________；(2)设汽车的重量为ω吨，则桥头上限重10吨应表示为________；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%，则f，p满足的不等关系是________．【答案】(1)v≤80　(2)ω≤10　(3)9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0.所以a3＋b3≥ab2＋a2b.B级——能力提升练10．(2020年上海嘉定区高一期中)已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．a＋b≥b＋cB．ac＞bc5 C．(a－b)c2≥0D．＞0【答案】C　【解析】a与c的关系不确定，A错误．c的符号不确定，B错误．因为a＞b，所以a－b＞0，且c2≥0，所以(a－b)c2≥0，C正确．当c2＝0时，＝0，D错误．故选C．11．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2100h；预计此产品明年的销售量至少为80000袋；生产每袋需用4h；生产每袋需用原料20kg；年底库存原料600t，明年可补充1200t．则根据这些数据预测明年的产量在(　　)A．70000到80000袋之间B．75000到85000袋之间C．80000到90000袋之间D．85000到95000袋之间【答案】C　【解析】设明年的产量为x袋，则解得80000≤x≤90000.故选C．12．(多选)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题的有(　　)A．若a2－b2＝1，则a－b＜1B．若－＝1，则a－b＜1C．若|－|＝1，则|a－b|＜1D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1【答案】AD　【解析】若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2，因为a＋1＞a－1，所以a－1＜b＜a＋1，即a－b＜1，A正确；若－＝1，可取a＝7，b＝，则a－b＞1，B错误；若|－|＝1，可取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5＞1，C错误；由|a3－b3|＝1，若a＞b＞0，则a3－b3＝1，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3，因为a2＋1＋a＞b2，所以a－1＜b，即a－b＜1.若0＜a＜b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，因为b2＋1＋b＞a2，所以b－1＜a，即b－a＜1，所以|a－b|＜1，D正确．故选AD．13．设P＝，Q＝－，R＝－，最大的为________，最小的为________．【答案】P　Q　【解析】因为P－R＝－(－)＝2－＞0，所以P＞R，R－Q＝－－(－)＝(＋)－(＋)，而(＋)2＝9＋2，(＋)2＝9＋2，所以＋＞＋，即R>Q.综上，P>R>Q.14．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．5 【答案】{z|3≤z≤8}　【解析】因为z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，所以3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，故z的取值范围是3≤z≤8.15．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1.所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.所以[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．C级——探究创新练16．某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A地运到B地，有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度/(千米·时－1)途中费用/(元·千米－1)装卸时间/时装卸费用/元汽车50821000火车100442000飞机2001621000若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中的损耗为300元/时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的总支出最小．解：设A、B两地的距离为S千米，则采用三种运输工具运输(含装卸)过程中的费用和时间可用下表给出：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车8S＋1000＋2火车4S＋2000＋4飞机16S＋1000＋2分别用F1，F2，F3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有F1＝8S＋1000＋×300＝14S＋1600，5 F2＝4S＋2000＋×300＝7S＋3200，F3＝16S＋1000＋×300＝17.5S＋1600.因为S＞0，所以F1＜F3恒成立．而F1－F2＜0的解为S＜，F2－F3＜0的解为S＞，则当S＜(千米)时，F1＜F2，F1＜F3，此时采用汽车较好；当S＝(千米)时，F1＝F2＜F3，此时采用汽车或火车较好；当S＞(千米)时，F1＞F2，并满足F3＞F2，此时采用火车较好．5