指数函数的概念、图象及性质A级——基础过关练1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1.A．0个B．1个C．3个D．4个【答案】B　【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝的定义域是(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】C　【解析】由5x－1≥0，得5x≥50，所以x≥0.3．(2020年安康高一期中)已知函数y＝ax－a＋b(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(2，2)，则a，b的值分别为(　　)A．1，2B．2，1C．2，2D．1，1【答案】B　【解析】由于函数y＝ax－a＋b过定点(2，2)所以a2－a＋b＝2，故a＝2，b＝1.4．函数f(x)＝则f(f(－2))的值为(　　)A．B．C．2D．4【答案】C　【解析】由题意f(－2)＝－2＋3＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝2.5．(2020年抚州高一期中)若指数函数y＝(1－3a)x在R上递减，则实数a的取值范围是(　　)A．B．(1，＋∞)C．RD．(－∞，0)【答案】A　【解析】若指数函数y＝(1－3a)x在R上递减，则1－3a∈(0，1)，得实数4 a的取值范围为.故选A．6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．【答案】1　【解析】由指数函数的定义得解得a＝1.7．(2020年丽水期中)函数f(x)＝ax－1＋－1(其中a＞0，且a≠1)图象上的定点A的坐标为________；若指数函数g(x)的图象经过点A，则g(x)＝________．【答案】(1，)　()x　【解析】因为函数f(x)＝ax－1＋－1(其中a＞0，且a≠1)．又a0＝1，所以令x－1＝0，得f(x)＝.所以函数f(x)过定点A的坐标为(1，)．设指数函数g(x)＝ax，因为A(1，)，所以a1＝，所以a＝，所以指数函数g(x)＝()x.8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是______________．【答案】(－1，0)∪(0，1)　【解析】由x＜0，得0＜2x＜1.因为x＞0，所以－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0.所以函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2－1；(2)y＝.解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0.故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝的定义域为实数集R.由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9.所以函数y＝的值域为(0，9]．B级——能力提升练10．下列各函数中，是指数函数的是(　　)A．y＝(－3)xB．y＝－3x4 C．y＝3x－1D．y＝【答案】D　【解析】根据指数函数的定义知，y＝ax(a>0，a≠1)，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确．11．(2020年玉溪高一期中)函数f(x)＝2－x在区间[－2，1]上的最小值是(　　)A．－B．C．－2D．2【答案】B　【解析】因为函数f(x)＝2－x在区间[－2，1]上单调递减，所以最小值为f(1)＝2－1＝.故选B．12．(多选)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　)A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)C．＞0D．f＜【答案】ACD　【解析】2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立.2x1x2≠2x1＋2x2，所以B不成立．f(x)＝2x在R上是单调递增函数，故C正确．f＜说明函数是凹函数，而f(x)＝2x是凹函数，故D正确．故选ACD．13．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．【答案】7　【解析】由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.C级——探究创新练14．已知A，B，C是函数f(x)＝ex图象上的三点，它们的横坐标依次为t，t＋2，t＋4，其中e＝2.7128…为自然对数的底数．(1)求△ABC面积S关于t的函数关系式S＝g(t)；(2)用单调性的定义证明函数y＝g(t)＋g(－t)在[0，＋∞)上是递增函数．解：(1)由题意，可知S＝g(t)＝×4(et＋et＋4)－×2(et＋et＋2)－×2(et＋2＋et＋44 )＝(e2－1)2et.(2)由(1)，知y＝g(t)＋g(－t)＝(e2－1)2(et＋e－t)，令h(t)＝et＋e－t，任取t1，t2∈[0，＋∞)，且Δt＝t2－t1＞0，则Δh(t)＝h(t2)－h(t1)＝et2＋e－t2－et1－e－t1＝(et2－et1).因为t2＞t1≥0，所以et2＞et1，et2＋t2＞1，从而et2－et1＞0，1－＞0.所以Δh(t)＞0.故h(t)在[0，＋∞)上是增函数．因为(e2－1)2＞0，所以y＝g(t)＋g(－t)在[0，＋∞)上是增函数．4