指数函数图象及性质的应用A级——基础过关练1．下列判断正确的是(　　)A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜πD．0.90.3＞0.90.5【答案】D　【解析】因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】B　【解析】由已知得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.3．函数y＝的单调递减区间为(　　)A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，]D．[，＋∞)【答案】B　【解析】函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．4．(2021年杭州模拟)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【答案】A　【解析】由题意，得a＝2＝＝，b＝3＝＝，c＝25＝.因为9＜16＜25，所以＜＜.故选A．5．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　)A．2x≥2yB．≥4 C．x2≥y2D．x3≥y3【答案】AD　【解析】由指数函数的单调性可知，当x≥y，有2x≥2y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立；因为y＝x3是增函数所以x≥y时，x3≥y3.故选AD．6．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(3，－1)　　【解析】对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，f(x)＝－1，所以y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．再根据函数f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是减函数，故有0＜2a－1＜1，解得<a＜1.7．(2021年辛集高一期中)已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．【答案】2　【解析】因为f(x)是定义在[－2a，3a－1]上奇函数，所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.所以f(x)的定义域为[－2，2]．又f(x)为奇函数，0∈[－2，2]，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.所以a＋b＝2.8．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________．【答案】y＝0.9·m　【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，即x年后湖水量为0.9·m.9．已知指数函数f(x)的图象过点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．将点代入，得＝a2，解得a＝.故f(x)＝.(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数．4 又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1.所以x的取值范围为(－1，1)．B级——能力提升练10．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　)A．a＞0B．a＞1C．a＜1D．0＜a＜1【答案】D　【解析】因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，所以f(x)为增函数．又f(x)＝a－x＝，所以＞1，所以0＜a＜1.11．(2020年哈尔滨高一期中)当x≤1时，函数y＝4x－2x＋1＋2的值域为(　　)A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)C．[1，2)D．[1，2]【答案】D　【解析】y＝4x－2x＋1＋2＝(2x)2－2·2x＋2＝(2x－1)2＋1.设t＝2x，因为x≤1，所以0＜t≤2，则函数等价为y＝(t－1)2＋1.因为0＜t≤2，所以1≤y≤2，即函数的值域为[1，2]．故选D．12．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【答案】B　【解析】由f(1)＝，得a2＝，于是a＝，故f(x)＝.令t＝|2x－4|，所以h(t)＝为减函数．因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B．13．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．【答案】(－∞，0]　【解析】在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变(如图)，得到y＝|2x－1|的图象．由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，所以m∈(－∞，0]．14．(2021年衡水月考)已知f(x)＝.4 (1)判断函数的奇偶性；(2)求证：f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．(1)证明：f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)证明：f(x)＝＝1－，在(－∞，＋∞)上任取x1，x2，且x1＞x2，所以f(x1)－f(x2)＝－＝.而y＝102x在R上为增函数，所以102x1＞102x2，即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在R上为增函数．(3)解：由y＝1－，得102x＝，而102x＞0，即＞0，所以－1＜y＜1.所以f(x)的值域是(－1，1)．C级——探究创新练15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位，一个ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分)存在函数关系y＝c(c，m为常数)．(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解：(1)因为函数y＝c(c，m为常数)经过点(4，64)，(8，32)，所以解得m＝，c＝128.(2)由(1)得y＝128t，所以128t≤，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．4