倾斜角与斜率1.（2020北京高二学业水平测试）已知直线l经过(-1,0),(0,3)两点，那么直线l的倾斜角的大小是()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘答案：C2.（多选题）下列说法中正确的是()A.若直线的斜率为33，则它的倾斜角为30∘B.若A(1,-3),B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90∘C.若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45∘，则这条直线必过点(3,4)D.若直线的斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点答案：A;B;C3.（原创题）直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取值范围为()A.(0,1]B.(-∞,1]C.(-2,1]D.[1,+∞)答案：B4.设P为x轴上的一点，A(-3,8)，B(2,14)，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的两倍，则点P的坐标为()A.(-2,0)B.(-5,0)C.(2,0)D.(5,0)答案：B5.（2021天津武清天和城实验中学高二月考）若A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)三点在同一条直线上，则实数b等于()A.2B.3C.9D.-9答案：D6.（2021安徽亳州育萃中学高二月考）设直线l1,l2的斜率和倾斜角分别为k1,k2和θ1,θ2，则“k1＞k2”是“θ1＞θ2”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4 答案：D7.已知直线l的一个方向向量为(1,3)，倾斜角为α，则12sin 2α=()A.310B.35C.-310D.110答案：A8.已知直线l的一个方向向量为(cos 45∘,-sin 45∘)，则直线l的倾斜角为()A.45∘B.-45∘C.135∘D.315∘答案：C9.（2021天津静海瀛海学校高二月考）过A(m,4),B(0,3)两点的直线的倾斜角为60∘，则实数m的值为（）A.233B.33C.3D.2答案：B10.已知直线l经过点M(-2,(t+1t)2)和点N(2,(t-1t)2)，则()A.直线l的斜率为定值，倾斜角不确定B.直线l的倾斜角为定值，斜率不确定C.直线l的斜率与倾斜角都不确定D.直线l的斜率为-1，倾斜角为135∘答案：D素养提升练11.已知直线l经过点P(1,2)和点Q(-2,-2)，则直线l的单位方向向量为()A.(-3,-4)B.(-35,-45)C.(±35,±45)D.±(35,45)答案：D解析：由题意得直线l的一个方向向量为PQ=(-2-1,-2-2)=(-3,-4)，则|PQ|=(-3)2+(-4)2=5，因此直线l的单位方向向量为±PQ|PQ|=±15(-3,-4)=±(35,45).4 12.（2021浙江丽水五校共同体高二段考）已知A(3,0)，B(2,1)，直线l过点P(0,-1)，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是，倾斜角α的取值范围是.答案：[33,1];[π6,π4]解析：如图，若直线l与线段AB总有公共点，则kPA≤kl≤kPB，∵A(3,0),B(2,1),P(0,-1)，∴kPA=0-(-1)3-0=33,kPB=1-(-1)2-0=1，∴33≤kl≤1，即33≤tanα≤1,∵α∈[0,π),∴π6≤α≤π4.13.已知M(m+3,2m+5),N(m-2,1).（1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3）直线MN的倾斜角可能为直角吗？答案：（1）若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k=2m+5-1m+3-(m-2)=2m+45＞0，解得m＞-2，即当m＞-2时，直线MN的倾斜角为锐角.（2）若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k=2m+5-1m+3-(m-2)=2m+45＜0，解得m＜-2，即当m＜-2时，直线MN的倾斜角为钝角.（3）当直线MN垂直于x轴时，直线MN的倾斜角为直角，此时m+3=m-2，因为此方程无解，所以直线MN的倾斜角不可能为直角.创新拓展练4 14.（1）已知直线l1的方向向量为n=(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，求直线l2的斜率；（2）已知实数x,y满足y=-2x+8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.命题分析本题主要考查了直线的倾斜角和斜率及其关系、二倍角公式的应用以及斜率的应用.答题要领（1）设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α，根据直线l1的方向向量为n=(2,1)，得到直线l1的斜率为tanα=12，然后用二倍角公式求解.（2）根据斜率的几何意义，数形结合求解.详细解析（1）设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为n=(2,1)，所以直线l1的斜率为tanα=12，所以直线l2的斜率为tan 2α=2 tanα1-tan2α=43.（2）如图所示，由点(x,y)满足关系式y=-2x+8，且2≤x≤3可知，点P(x,y)在线段AB上移动，由已知可得A(2,4)，B(3,2).因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2,kOB=23，所以yx的最大值为2，最小值为23.解题感悟第一问解题关键是根据直线的方向向量求出直线的斜率.第二问解题关键是明确斜率的几何意义，将待求问题转化为斜率的最值问题求解.4