两条直线平行和垂直的判定1.满足下列条件的直线l1与l2中，l1∥l2的是()①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)、B(4,8)；②l1经过点P(3,3)、Q(-5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M(-1,0)、N(-5,-2)，l2经过点R(-4,3)、S(0,5).A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：B2.下列两条直线不垂直的是()A.l1的倾斜角为120∘，l2过点P(1,0),Q(4,3)B.l1的斜率为-23，l2过点P(1,1),Q(0,-12)C.l1的倾斜角为30∘，l2过点P(3,3),Q(4,23)D.l1过点M(1,0),N(4,-5)，l2过点P(-6,0),Q(-1,3)答案：C3.若直线l1,l2的斜率分别为-1,a2-2，且l1∥l2，则实数a等于()A.1B.-1C.±3D.±1答案：D4.已知直线l的倾斜角为20∘，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是()A.20∘,110∘B.70∘,70∘C.20∘,20∘D.110∘,20∘答案：A解析：如图，因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20∘，因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90∘+20∘=110∘.6 5.（2020宁夏银川一中高二月考）已知过A(1,1)、B(1，-3)两点的直线与过C(-3,m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m,n)有()A.1个B.2个C.3个D.无数个答案：D6.（多选题）下列命题中正确的有()A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行B.若两直线平行，则它们的斜率相等C.若两直线的斜率之积为-1，则它们垂直D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为-1答案：A;C7.已知△ABC的顶点为B(2,1)，C(-6,3)，其垂心为H(-3,2)，则其顶点A的坐标为()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)答案：A解析：∵H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC,BH⊥AC，又kBC=3-1-6-2=-14,kBH=2-1-3-2=-15，∴直线AH,AC的斜率存在且kAH=4,kAC=5.设A(x,y)，则kAH=y-2x+3=4,kAC=y-3x+6=5,解得x=-19,y=-62,∴点A的坐标为(-19,-62).8.（多选题）若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12)，则下列结论中正确的是()A.AB∥CDB.AB∥ADC.AC⊥CDD.AC⊥BD答案：A;D解析：∵kAB=-4-26-(-4)=-35,kCD=12-62-12=-35，且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A中结论正确；6 ∵kAD=12-22-(-4)=53,∴kAB⋅kAD=-1，∴AB⊥AD，故B中结论错误；∵kAC=6-212+4=14，∴kCD⋅kAC=-35×14≠-1，∴AC与CD不垂直，故C中结论错误；∵kBD=12+42-6=-4，∴kAC⋅kBD=-1,∴AC⊥BD，故D中结论正确.9.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4a,1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2)，若l1∥l2，且l1与l2没有公共点，则实数a的值为.答案：-6素养提升练10.（2021江西南昌十中高二月考）已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0)，且直线AB与CD平行，则m的值为()A.1B.0或1C.2D.1或2答案：B解析：当直线AB与CD的斜率均不存在时，m=2m,m+1=1,可得m=0，此时A(0,3),B(0,4),C(1,2),D(1,0)，符合题意；当直线AB与CD的斜率均存在时，m≠0，此时kAB=m+4-32m-m=m+1m,kCD=2-0m+1-1=2m，所以m+1m=2m，解得m=1，此时A(1,3),B(2,5),C(2,2),D(1,0)，符合题意.综上，m的值为0或1.11.在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，则下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标是()A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)答案：A6 解析：设第四个顶点为C.当点C的坐标为(-3,1)时，|OC|=10,|AB|=5,|AC|=4,|OB|=3.∵|OC|≠|AB|,|AC|≠|OB|，∴四边形ABOC不是平行四边形；当点C的坐标为(4,1)时，∵OA=BC=(1,1)，∴OA∥BC且OA=BC，∴四边形OBCA是平行四边形；当点C的坐标为(-2,1)时，∵OC=BA=(-2,1)，∴OC∥BA且OC=BA，∴四边形OBAC是平行四边形；当点C的坐标为(2,-1)时，∵OC=AB=(2,-1)，∴OC∥/AB且OC=AB，∴四边形OCBA是平行四边形.故选A.12.（多选题）设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12)，则下面四个结论中正确的是()A.PQ∥SRB.PQ∥PSC.PS⊥QSD.PR⊥QS答案：A;D解析：由斜率公式知kPQ=-4-26+4=-35,kSR=12-62-12=-35,kPS=12-22+4=53,kQS=12+42-6=-4,kPR=6-212+4=14，所以PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS，又kPS⋅kQS≠-1，所以直线PS与QS不垂直，所以A、D正确.13.（2020黑龙江伊春伊美二中高二期末）已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直，则实数a=.答案：0或1解析：kAB=3a1-(-2)=a，当a=0时，kAB=0，直线l2的斜率不存在，此时两条直线相互垂直；当a≠0时，kPQ=-2a+1a，∵两条直线相互垂直，∴a⋅-2a+1a=-1，解得a=1.6 综上可知，a=1或a=0.14.（2020山东泰安一中高二月考）已知四边形ABCD的顶点为A(m,n)、B(5,-1)、C(4,2)、D(2,2)，若四边形ABCD为直角梯形，求m和n的值.答案：①如图，当∠A=∠D=90∘时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC，且AD⊥AB.∵kDC=0,∴m=2,n=-1.②如图，当∠A=∠B=90∘时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD=kBC,kABkBC=-1.∴n-2m-2=2-(-1)4-5,n+1m-5⋅2-(-1)4-5=-1,解得m=165,n=-85.综上所述，m=2,n=-1或m=165,n=-85.创新拓展练15.（2020甘肃平凉静宁一中期末）已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).（1）若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ，求点Q的坐标；（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.命题分析本题主要考查了直线的斜率以及与倾斜角的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键.6 答题要领（1）设Q(x,y)，根据PQ⊥MN得出yx-3×3=-1，由PN∥MQ得出y+1x-1=-2，解方程组即可求出Q的坐标.（2）设Q(x,0)，由∠NQP=∠NPQ得出kNQ=-kNP，解方程求出Q的坐标，即可得出结果.详细解析（1）设Q(x,y)，由已知得kMN=3，又PQ⊥MN,∴kPQ⋅kMN=-1，即yx-3×3=-1①，由已知得kPN=-2，又PN∥MQ，∴kPN=kMQ，即y+1x-1=-2②，联立①②，解得x=0,y=1,∴Q(0,1).（2）设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP，又kNQ=22-x,kNP=-2，∴22-x=2，解得x=1,∴Q(1,0)，又M(1,-1),∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90∘.解题感悟利用平行、垂直的关系求参数的关键是求出斜率，再利用平行、垂直判断斜率之间的关系，列方程求解.6