直线的点斜式方程基础过关练题组一　直线的点斜式方程1.已知直线的点斜式方程为y-3=3(x-4),则这条直线经过的定点、倾斜角分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(4,3),60°B.(-3,-4),60°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°2.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试)过点P(-2,1)且倾斜角为90°的直线方程为(　　)A.y=1B.x=-2C.y=-2D.x=13.过点(-1,3)且平行于直线y=12(x+3)的直线方程为(　　)A.y+3=12x+1B.y+3=12(x-1)C.y-3=12x+1D.y-3=12(x-1)4.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知点A(1,0),B(3,4),则线段AB的中垂线方程是(　　)A.x+2y-6=0B.x-2y+2=0C.2x+y-6=0D.2x-y-2=05.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　　　. 6.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:(1)直线AB的方程;(2)直线AC和BC的方程.题组二　直线的斜截式方程7.下面四个直线方程中,是直线的斜截式方程的是(　　)A.x=3B.y=3x-5C.y-2=3(x-1)D.x=4y-18.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)A.y=12x+4B.y=2x+4C.y=-2x+4D.y=-12x+49.若k<0,且b<0,则直线y=kx+b必不过(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.(2020山西大同一中高二上期中)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　. 11.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l与直线2x-5y=3在y轴上的截距相等,求直线l的斜截式方程.7,题组三　直线的点斜式、斜截式方程的应用12.已知直线l的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为　. 13.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则实数a=　　　　. 14.(2021江西南昌二中高二上月考)如图所示,在平行四边形OABC中,点C(1,3),A(3,0).(1)求直线AB的方程;(2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的方程.能力提升练题组一　直线方程的点斜式、斜截式1.(2020辽宁大连高二上期中,)直线y=k(x-1)(k∈R)是(　　)A.过点(1,0)的一切直线B.过点(-1,0)的一切直线C.过点(1,0)且除x轴外的一切直线D.过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线2.()直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图形可能是(　　)3.(2021河南鹤壁高中高二上阶段检测,)如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为(　　)A.x-y+1=0B.x+y+1=0C.x-y-1=0D.x+y-1=04.(多选)()下列说法正确的有(　　)A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则(k,b)在第二象限B.直线kx-y-2k+3=0必过定点C.过点(2,-1),且斜率为-3的直线的点斜式方程为y+1=-3(x-2)D.斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±37,5.(2020河南郑州一中高一月考,)与直线y=3x+4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为　　　　　　. 6.()已知直线l过点P(2,1),且直线l的倾斜角为直线y=14x+34的倾斜角的2倍,则直线l的点斜式方程为　　　　　　. 题组二　直线的点斜式、斜截式方程的应用7.(2021山东郓城一中高二上第一次月考,)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0D.2x-y-3=08.(2020山西怀仁重点中学高二上期末,)将一张画有直角坐标系的图纸对折,使点A(0,2)与B(4,0)重合,若此时点C(0,4)恰与点D重合,则点D的坐标是　　　　. 9.(2021重庆八中高二上月考,)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H.(1)求反射光线QH所在直线的方程;(2)求P点关于直线QH的对称点P'的坐标.10.(2020广东广州二中高二上期中,)已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.答案全解全析基础过关练1.A　由直线的点斜式方程的特点可知,直线经过定点(4,3),斜率为3,即倾斜角为60°.2.B　由于过P(-2,1)的直线的倾斜角为90°,即直线垂直于x轴,所以其直线方程为x=-2.故选B.3.C　由直线y=12(x+3),得待求直线的斜率为12,又∵待求直线过点(-1,3),∴其方程为y-3=12(x+1),故选C.7,4.A　设线段AB的中点为M,∵A(1,0),B(3,4),∴M(2,2),kAB=4-03-1=2,∴线段AB的中垂线方程为y-2=-12(x-2),化简得x+2y-6=0,故选A.5.答案　y-4=-(x-3)解析　∵直线y=x+1的斜率为1,∴倾斜角为45°.将其逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).6.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以kAC=tan45°=1.又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan135°=-1.又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.7.B　由直线的斜截式方程的形式知,B正确.8.D　因为直线y=2x+1的斜率为2,所以与其垂直的直线的斜率是-12,故所求直线的斜截式方程为y=-12x+4.9.A　由k<0,b<0可知直线过第二、三、四象限.故选A.10.答案　y=3x-6或y=-3x-6解析　由直线与y轴相交成30°角知,直线的倾斜角为60°或120°,所以斜率为±3.又直线在y轴上的截距为-6,所以直线的方程为y=±3x-6.11.解析　直线方程3x-2y=6可化为y=32x-3,所以直线l的斜率为32,直线方程2x-5y=3可化为y=25x-35,所以直线l在y轴上的截距为-35,所以直线l的斜截式方程为y=32x-35.12.答案　y=16x+1或y=16x-1解析　设直线l的方程为y=16x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得12·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=16x+1或y=16x-1.13.答案　-1解析　因为l1∥l2,所以a2+1=2,即a2=1,所以a=±1.又l1与l2不能重合,所以3a≠3,即a≠1,故a=-1.14.解析　(1)因为点O(0,0),点C(1,3),所以直线OC的斜率kOC=3-01-0=3,7,因为AB∥OC,所以kAB=3,又直线AB过点A(3,0),所以直线AB的方程为y=3x-9,即3x-y-9=0.(2)因为CD⊥AB,直线AB的斜率为3,所以直线CD的斜率kCD=-13,又直线CD过点C(1,3),所以直线CD的方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.能力提升练1.D　直线y=k(x-1)(k∈R),即y-0=k(x-1)(k∈R)表示过点(1,0),且斜率为k(k∈R)的直线,因此直线是过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线,故选D.2.D　对于A选项,由l1得a>0,b<0,由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B选项,由l1得a<0,b>0,由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C选项,由l1得a>0,b<0,由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D选项,由l1得a>0,b>0,由l2得a>0,b>0.故选D.3.A　∵kAB=a+1-aa-1-a=-1,且A,B关于直线l对称,∴kl=1,又线段AB的中点为a-1+a2,a+1+a2,即a-12,a+12,∴直线l的方程为y-a+12=1×x-a-12,即x-y+1=0.故选A.4.ABC　对于A,该直线过第一、二、四象限,所以k<0,b>0,故点(k,b)在第二象限,A正确;对于B,直线的方程kx-y-2k+3=0可化为点斜式y-3=k(x-2),所以无论k取何值,点(2,3)都满足方程,B正确;对于C,由点斜式方程知正确;对于D,由斜截式方程得到所求直线方程为y=-2x+3,D错误.故选ABC.5.答案　y=-3x+4解析　由条件知所求直线的斜率为-3,在y轴上的截距为4,所以其直线方程为y=-3x+4.6.答案　y-1=815(x-2)解析　由y=14x+34,得斜率为14,设直线y=14x+34的倾斜角为α,直线l的倾斜角为β,斜率为k,则tanα=14,k=tanβ=tan2α=2tanα1-tan2α=815.又直线l过点P(2,1),所以直线l的点斜式方程为y-1=815(x-2).7.D　∵线段AB的中点为M(2,1),kAB=-12,7,∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,∵|AC|=|BC|,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.8.答案　285,65解析　设线段AB的中点为M,则M(2,1).又kAB=2-00-4=-12,∴线段AB的垂直平分线的斜率为2,因此,AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2).设D(a,b),则kCD=b-4a-0=-12,∴a=-2b+8.①又线段CD的中点a2,b+42在线段AB的垂直平分线上,∴b+42-1=2a2-2,即b=2a-10.②由①②得a=285,b=65,因此D285,65.9.解析　(1)点P(6,4)关于x轴的对称点P0的坐标为(6,-4),则反射光线所在的直线过点P0和Q,所以kP0Q=-4-06-2=-1,所以直线P0Q的方程为y=-(x-2).所以反射光线QH所在直线方程为y=-x+2.(2)设P'(m,n),根据P点和P'点关于直线QH对称,得直线PP'与直线QH的斜率之积为-1,且线段PP'的中点在直线QH上,则n-4m-6·(-1)=-1,n+42=-m+62+2,解得m=-2,n=-4,所以P点关于直线QH的对称点P'的坐标为(-2,-4).10.解析　(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,要使直线l不经过第四象限,需满足k≥0,4k+2≥0,解得k≥0,故k的取值范围是k≥0.(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-4k+2k,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A-4k+2k,0,B(0,4k+2),故S=12|OA|×|OB|=2(2k+1)2k=24k+1k+4≥2×(4+4)=16,7,当且仅当4k=1k,即k=12时取等号,故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=12x+4.7