直线的两点式方程1.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线的方程为()A.x=2B.y=2C.x=3D.x=6答案：B2.若直线xa+yb=1过第一、三、四象限，则()A.a＞0,b＞0B.a＞0,b＜0C.a＜0,b＞0D.a＜0,b＜0答案：B3.已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5)，则l的斜率为()A.-38B.38C.-32D.32答案：A4.过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的方程是()A.x-2+y=1B.x-2+y-5=1C.x-2+y-1=1D.x-2+y=1或x-2+y-5=1答案：D5.已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5)，则△ABC的BC边上的中线所在直线的方程为()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x+y-5=0D.x-y-5=0答案：C6.一条光线从点A(-12,0)射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.x-2y-1=0D.x+2y+1=0答案：B7.（多选题）（2021山东德州夏津一中高二月考）下列关于直线的方程，叙述不正确的是()A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示5 B.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x-x1)(y-y1)=(x-x2)(y-y2)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示答案：A;C;D8.（2021江西南昌新建一中高二月考）过点P(2,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为()A.5x-2y=0B.x-y+3=0C.5x-2y=0或x+y-7=0D.5x-2y=0或x-y+3=0答案：D9.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的截距式方程是.答案：x2+y6=110.直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为.答案：y=23x解析：由题意可知线段BD的中点的坐标为(3,2)，所以由两点式可得直线l的方程为x-03-0=y-02-0，即y=23x.素养提升练11.（多选题）下列说法正确的是()A.点(2,0)关于直线y=x+1的对称点为(-1,3)B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1C.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线的方程为x+y-2=0或x-y=0D.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8答案：A;C;D解析：点(2,0)与(-1,3)所连线段的中点的坐标为(12,32)，满足y=x+1，并且两点连线的斜率为-1，所以点(2,0)关于直线y=x+1的对称点为(-1,3)，所以A中说法正确；当x1≠x2,y1≠y2时，5 过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，所以B中说法不正确；经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线的方程为x+y-2=0或x-y=0，所以C中说法正确；在x-y-4=0中，当x=0时，y=-4，当y=0时，x=4，所以直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×4×4=8，所以D中说法正确.12.（2021四川泸州泸县四中高二开学考）已知直线l过点P(2,3)，且与x,y轴的正半轴分别交于A，B两点.若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为()A.3x+2y-12=0B.3x+2y-24=0C.2x+3y-13=0D.2x+3y-12=0答案：A解析：设直线l的方程为xa+yb=1(a＞0,b＞0)，则△AOB的面积为12ab=12①.因为直线l过点P(2,3)，所以2a+3b=1②.联立①②，解得a=4,b=6，故直线l的方程为x4+y6=1，即3x+2y-12=0.13.（2021吉林长春高二月考）过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为()A.y-x=1B.y+x=3C.y=2x或x+y=3D.y=2x或y-x=1答案：D解析：①当直线过原点时，由题意可得直线的斜率为2-01-0=2，故直线的方程为y=2x；②当直线不过原点时，设直线的方程为xa+y-a=1，代入点A(1,2)得1a+2-a=1，解得a=-1，故直线方程为x-y+1=0.综上，所求直线的方程为y=2x或y-x=1.14.（2020安徽高二联考）已知A(4,0)、B(0,2)，若点C(a,b)在线段AB（不含端点）上，则1a+1-b的最小值为()A.2-52B.2-32C.32-2D.52-25 答案：A解析：由A(4,0)、B(0,2)可得直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y=4，因为点C(a,b)在线段AB（不含端点）上，所以a+2b=4(a＞0,b＞0)，所以1a+1-b=1a+1-4-a2=1a+1+a-42=1a+1+a+1-52=1a+1+a+12-52≥21a+1⋅a+12-52=2-52，当且仅当1a+1=a+12，即a=2-1时等号成立.15.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(2,0),C(4,4).（1）求AB边所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程.答案：（1）因为A(1,1)，B(2,0)，所以由直线的两点式方程可得AB边所在直线的方程为y-01-0=x-21-2，即x+y-2=0.（2）设BC的中点为D，由B(2,0)，C(4,4)得BC的中点D的坐标为(2+42,0+42)，即D(3,2)，则BC边上的中线AD所在直线的方程为y-21-2=x-31-3，即x-2y+1=0.创新拓展练16.（2021安徽滁州定远重点中学高二月考）已知直线l：y=4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B,O为坐标原点.（1）当OP⊥AB时，求直线AB的方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时，点B的坐标.命题分析本题主要考查了直线方程的求法以及三角形面积的最值问题，还考查了转化思想、运算求解的能力.答题要领（1）先根据OP⊥AB得到kAB，再根据直线AB过点P(6,4)求解.（2）设点A的坐标为(a,4a),a＞0，点B的坐标为(b,0),b＞0，当直线AB的斜率不存在时，a=b=65 ，可得△OAB的面积；当直线AB的斜率存在时，根据A,B,P共线得到b，然后由三角形的面积公式求解.详细解析（1）∵点P(6,4),∴kOP=23，又∵OP⊥AB,∴kAB=-32.∵直线AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y-4=-32(x-6)，即3x+2y-26=0.（2）设点A的坐标为(a,4a),a＞0，点B的坐标为(b,0),b＞0，当直线AB的斜率不存在时，a=b=6，此时△OAB的面积S=12×6×24=72；当直线AB的斜率存在时，4a-4a-6=0-4b-6，解得b=5aa-1，故点B的坐标为(5aa-1,0)，故△OAB的面积S=12⋅5aa-1⋅4a=10a2a-1，即10a2-Sa+S=0.①由题意可得方程10a2-Sa+S=0有解，故Δ=S2-40S≥0，∴S≥40，故S的最小值为40，此时①为a2-4a+4=0，解得a=2，∴b=10.综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB的面积取最小值时，点B的坐标为(10,0).解题感悟求直线的方程时方程形式的选择技巧：（1）已知一个点的坐标，求过该点的直线的方程时，通常选用点斜式方程；（2）已知直线的斜率和在y轴上的截距时，通常选用斜截式方程；（3）已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；（4）已知直线上的两点时，通常选用两点式方程.5