两点间的距离公式1.（2021安徽蚌埠田家炳中学、蚌埠五中高二期中联考）已知三角形的三个顶点为A(2,4)，B(3,-6)，C(5,2)，则过点A的中线的长为()A.10B.210C.112D.310答案：B2.（2021北京新学道临川学校高二期中）已知点M(m,-1)，N(5,m)，且|MN|=25，则实数m等于()A.1B.3C.1或3D.-1或3答案：C3.（2021天津师大附中高二第一次月考）已知过点M(-2,a)，N(a,4)的直线的斜率为-12，则|MN|等于()A.10B.180C.63D.65答案：D4.已知两点P(m,1)和Q(1,2 m)之间的距离大于10，则实数m的取值范围是()A.-45＜m＜2B.m＜-45或m＞2C.m＜-2或m＞45D.-2＜m＜45答案：B5.（2021江苏南京高二期中）已知P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)，则|PQ|的最大值为()A.2B.2C.4D.22答案：B6.（2021福建厦门大同中学高二期中）以点A(-3,0)，B(3,-2)，C(-1,2)为顶点的三角形是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形5,答案：D7.在直线x-y+4=0上取一点P，使它到点M(-2,-4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为.答案：(-32,52)8.已知在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF相交于点G，用坐标法求证：|AG|=|AD|.答案：证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则B(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)，F(0,1)，D(2,2).易得直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=-12x+1，联立得y=2x-2y=-12x+1，解得x=65，y=25，即点G(65,25)，所以|AG|=(65-0)2+(25-2)2=2=|AD|.素养提升练9.（多选题）已知点M(-1,3)，N(5,1)，P(x,y)到M，N的距离相等，则下列说法正确的是()A.|MN|=210B.直线MN的方程是x+3y-7=0C.直线MN的方程是x-3y+9=0D.x,y满足条件3x-y-4=0答案：A;D解析：因为M(-1,3)，N(5,1)，5,所以|MN|=(5+1)2+(1-3)2=210，所以A中说法正确；直线MN的方程为y-31-3=x+15+1，即x+3y-8=0，所以B、C中说法错误；由点P(x,y)到M，N的距离相等可知(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，即3x-y-4=0，所以D中说法正确.10.（2021云南丽江一中高二月考）已知点A(1,2)，B(-2,3)，直线l:y=x，在直线l上找一点P，使得|PA|+|PB|的值最小，则这个最小值为()A.34B.25C.10D.2答案：B解析：设A关于直线y=x的对称点为A'(a,b)，则b-2a-1=-1b+22=a+12⇒a=2b=1，∴A'(2,1)，∴(|PA|+|PB|)min=|BA'|=(-2-2)2+(3-1)2=25.11.（2021天津武清天和城实验中学高二期中）已知k∈R，则(x+1)2+4-(x-5)2+100的最小值是.答案：-10解析：(x+1)2+4-(x-5)2+100可转化为点P(x,0)到点A(-1,2)，B(5,10)的距离之差，当P，A，B三点不共线时，有||PA|-|PB||＜|AB|，当P，A，B三点共线时，有||PA|-|PB||=|AB|，故||PA|-|PB||≤|AB|=10，即-10≤|PA|-|PB|≤10，当且仅当点P为直线AB与x轴的交点时，|PA|-|PB|取得最小值-10，即原式取得最小值-10.12.已知直线l:(3λ+1)x+(2-λ)y-4-5λ=0恒过定点A.（1）求点A的坐标；（2）若点B与点A关于y轴对称，点P是直线m:y=3x+5上一动点，求|PA|2+|PB|2的最小值.答案：（1）将(3λ+1)x+(2-λ)y-4-5λ=0整理为(x+2y-4)+λ(3x-y-5)=0，5,令x+2y-4=03x-y-5=0⇒x=2y=1，故点A的坐标为(2,1).（2）∵点B与点A关于y轴对称，∴点B的坐标为(-2,1)，∵点P是直线y=3x+5上一动点，∴设P(t,3t+5)，∴|PA|2+|PB|2=[(t-2)2+(3t+4)2]+[(t+2)2+(3t+4)2]=20t2+48t+40=20(t+65)2+565，故当t=-65时，|PA|2+|PB|2取得最小值，为565.创新拓展练13.（2021山东潍坊高二期中）某工厂M（看作一点）位于两条高速公路（看作两条直线）OA与OB之间.已知M(153,9)，∠AOB=60∘，以O为坐标原点，直线OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求直线OB的方程；（2）现紧贴工厂M修建一条公路（看作直线）连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为线段CD的中点，求线段CD的长.命题分析本题考查了直线方程、中点坐标公式、两点间的距离公式以及运算求解的能力.答题要领（1）求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程;（2）根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长.详细解析（1）因为∠AOB=60∘，所以直线OB的斜率k=tan 60∘=3，所以直线OB的方程为y=3x.（2）设C(x1,0)，D(x2,y2)，因为M(153,9)为线段CD的中点，且D在OB上，所以x1+x22=1530+y22=9y2=3x2，解得x1=243x2=63y2=18，所以|CD|=(243-63)2+182=36.5,解题感悟利用两点间的距离公式解决实际问题，关键是先求出两点的坐标，再根据两点间的距离公式求解.5