圆的一般方程1.（多选题）若方程x2+y2+2ax-2ay=0表示圆，则下列叙述正确的是()A.圆心在直线y=-x上B.圆心在x轴上C.圆过原点D.圆的半径为2a答案：A;C2.已知直线l与圆C：x2+y2+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0,1)，则实数a的取值范围是()A.a＜1B.a＜2C.a＜3D.a＜5答案：C3.（2021天津和平汇文中学高二质检）若方程x2+y2+ax+1=0表示一个圆，则实数a的取值范围为()A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-2,2)C.(-4,4)D.(2,+∞)答案：A4.（2021安徽马鞍山二中高二段考）已知直线l过圆C：x2+y2-2x-4y-1=0的圆心，且倾斜角为90∘，则l的方程为()A.y=2xB.x=1C.y=2D.y=x+1答案：B5.已知圆C：x2+y2+4x=0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则线段AB的中点M的轨迹方程是()A.x2+y2+4x+2y+4=0B.x2+y2+2x+2y-1=0C.x2+y2+2x-1=0D.x2+y2+4x+1=0答案：D6.已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x-y-3=0上，则圆C的一般方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=05 D.x2+y2-2x+2y=0答案：C7.（2020浙江宁波诺丁汉大学附属中学高二期中）过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的一般方程是()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=0答案：A8.（2021四川泸县第二中学高二月考）已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-2)2+y2=4C.(x-1)2+y2=1D.(x+2)2+y2=4答案：C9.已知A，B是圆O：x2+y2=16上的两点，且|AB|=6，若以线段AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1)，则圆M的一般方程是.答案：x2+y2-2x+2y-7=010.（2021天津河东高二期中）已知圆M过点O(0,0),B(0,4),C(1,1)，则点D(3,4)与圆M上的点的最小距离为.答案：5解析：设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)，因为圆M过点O(0,0),B(0,4),C(1,1)，所以F=0,16+4E+F=0,1+1+D+E+F=0,解得D=2,E=-4,F=0，所以圆M的一般方程为x2+y2+2x-4y=0，整理可得(x+1)2+(y-2)2=5，所以圆M的圆心为(-1,2)，半径r=5，所以点D(3,4)与圆M上的点的最小距离为(-1-3)2+(2-4)2-5=5.素养提升练11.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点都在第二象限，则a的取值范围为()5 A.(-∞,2)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案：D解析：由x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0得(x+a)2+(y-2a)2=4，其圆心的坐标为(-a,2a)，半径为2，由题意知-a＜0,2a＞0,∣-a∣＞2,∣2a∣＞2,解得a＞2，故选D.12.若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0，则(a-2)2+(b-2)2的最小值为.答案：5解析：易知圆M的圆心为(-2.-1)，由题意得直线l过圆心M(-2,-1)，则-2a-b+1=0⇒b=-2a+1，所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5，所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.13.已知圆O:x2+y2=4，A，B在圆上，点P(1,2)，且PA⊥PB，则线段AB的中点R的轨迹方程是.答案：(x-12)2+(y-1)2=34解析：如图所示，设R(x,y)，则OR⊥AB，因为PA⊥PB，所以|PR|=12|AB|=|RB|，在Rt△ORB中，|OB|=2,|OR|=x2+y2,|RB|=|RP|=(x-1)2+(y-2)2，由勾股定理得22=x2+y2+(x-1)2+(y-2)2，整理得(x-12)2+(y-1)2=34，所以线段AB的中点R的轨迹方程为(x-12)2+(y-1)2=34.14.如图，已知矩形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2)，C(4,2)，B(4,-2)，D(0,2).5 （1）求对角线AC所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的一般方程；（3）若动点P为外接圆上一点，点N(-2,0)为定点，试问：线段PN的中点M的轨迹是什么？并求出该点的轨迹方程.答案：（1）由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为y-2-2-2=x-40-4，整理得x-y-2=0.（2）设G为该矩形外接圆的圆心，则G为线段AC的中点，∴G(0+42,-2+22)，即G(2,0).设r为该矩形外接圆的半径，则r=12|AC|=12×(4-0)2+(2+2)2=22，∴该矩形外接圆的方程为(x-2)2+y2=8，即x2+y2-4x-4=0.（3）设点P的坐标为(x0,y0)，线段PN的中点M的坐标为(x,y)，则x=x0-22,y=y02，∴x0=2x+2,y0=2y.∵P为外接圆上一点，∴(2x+2-2)2+(2y)2=8，整理得x2+y2=2，∴该轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为x2+y2=2.创新拓展练15.（2021北京昌平一中高二期中）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W：x2+y4=4,A(0,t),B(2,0),C(0,2),D(-2,0)为曲线W上不同的四点.（1）求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的一般方程；（2）求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W的最小覆盖圆的方程.命题分析本题考查了新定义问题、待定系数法求圆的一般方程、标准方程以及方程的思想和运算求解能力.答题要领（1）求出A点的坐标，设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C的坐标代入求解.（2）根据线段BD的最小覆盖圆是以BD5 为直径的圆，然后验证点A，C在圆内即可.（3）设P(a,b)，则|OP|2=a2+b2=-b4+b2+4，然后根据函数的性质求解.详细解析（1）因为点A(0,t)在曲线W：x2+y4=4上，所以t4=4，解得t=-2或t=2（舍去），所以A(0,-2)，设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)，则2-2E+F=0,2+2E+F=0,4+2D+F=0,解得D=-1,E=0,F=-2,所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-x-2=0.易知△ABC是锐角三角形，所以△ABC的最小覆盖圆的一般方程是x2+y2-x-2=0.（2）因为线段BD的最小覆盖圆是以线段BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=4，又因为|OA|=|OC|=2＜2，所以点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2+y2=4.（3）因为曲线W：x2+y4=4是中心对称图形，所以设P(a,b)(-2≤b≤2)，则|OP|2=a2+b2=-b4+b2+4=-(b2-12)2+174，当b2=12时，|OP|min=172，所以曲线W的最小覆盖圆的方程是x2+y2=174.解题感悟解题的关键是由最小覆盖圆的性质转化为求平面图形最小覆盖圆的方程.5