椭圆的简单几何性质1.椭圆x24+y23=1的离心率为()A.72B.12C.32D.14答案：B2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x+43y=4上，则该椭圆的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(±7,0)D.(0,±7)答案：C3.（2021吉林第一中学高二期中）设P(x,y)是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，定点M(1,0)，则|PM|2的最大值是()A.23B.1C.3D.9答案：D4.（2021天津耀华中学高二段考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1答案：D5.（2021辽宁大连高二期中）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1，r2，则卫星轨道的离心率等于()A.r2-r12R+r1+r2B.r2+r12R+r1+r2C.r2-r12R+2r1D.r2-r12R+2r2答案：A6.（多选题）（2021湖南怀化高二联考）若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是()A.m=2B.C的长轴长为3C.C的短轴长为22D.C的离心率为33答案：A;C;D5 7.已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，若点P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60∘，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.[22,1）B.(0,22)C.[12,1）D.[12,22）答案：C8.已知A为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，它关于原点对称的点为B，点F为椭圆的右焦点，且以AB为直径的圆过点F，当∠ABF=π6时，该椭圆的离心率是.答案：3-1素养提升练9.（多选题）（2021湖南三校高二期中）已知椭圆C：x24+y28=14x2+8y2=1内一点M(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的有()A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0)B.椭圆C的长轴长为22C.直线l的方程为x+y-3=0D.|AB|=433答案：C;D解析：由椭圆方程x24+y28=1可得焦点在y轴上，且a=22，b=2，c=2，∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，-2)，故A中结论错误；椭圆C的长轴长为2a=42，故B中结论错误；易知直线l的斜率存在，设其斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x124+y128=1,x224+y228=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)8=0，∴2(x1-x2)4+4(y1-y2)8=0，解得k=y1-y2x1-x2=-1，则直线l的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0，故C中结论正确；联立直线与椭圆的方程得x+y-3=0,x24+y28=1,整理得3x2-6x+1=0，5 ∴x1+x2=2，x1x2=13，∴|AB|=1+(-1)2×22-4×13=433，故D中结论正确.10.（2021北京平谷五中高二期中）已知焦点在x轴上的椭圆的方程为x24a+y2a2-1=1，随着a的增大，该椭圆的形状()A.越扁B.越接近于圆C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆答案：B解析：依题意有4a＞0,a2-1＞0,4a＞a2-1,解得1＜a＜5+2，椭圆的离心率e=4a-a2+14a=12×4+1a-a，令f(a)=1a-a(1＜a＜5+2)，容易判断f(a)在(1,5+2)上单调递减，则f(a)∈(-4,0)，于是e∈(0,1)，当a越来越大时，e越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.11.（2021福建厦门外国语学校高二期中）椭圆E与椭圆x29+y28=1有共同的焦点，且经过点A(1,-32).（1）求椭圆E的标准方程和离心率；（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求OM⋅FM的最大值.答案：（1）由x29+y28=1可得c=1，设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，因为椭圆E经过点A(1,-32)，所以a2=1+b2,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1，e=ca=12.（2）由（1）可知椭圆E:x24+y23=1，所以F(-1,0)，设M(x,y)，则OM=(x,y)，FM=(x+1,y)所以OM⋅FM=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14(x+2)2+2，因为-2≤x≤2，所以当x=2时，OM⋅FM取得最大值，为14×(2+2)2+2=6，即OM⋅FM的最大值为6.5 创新拓展练12.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PQ=λPF1.（1）若点P的坐标为(1,32)，求椭圆C的方程；（2）若43≤λ≤32，求椭圆C的离心率e的取值范围.命题分析本题考查了椭圆方程及性质等知识，考查了转化思想、运算求解能力.答题要领（1）根据已知条件，建立方程组求解；（2）设P，Q的坐标，由PF2⊥x轴，且P在椭圆上，得点P的坐标，根据PQ=λPF1，求出点Q的坐标，代入椭圆方程，结合λ的取值范围求离心率的取值范围.详细解析（1）∵PF2⊥x轴，且点P的坐标为(1,32)，∴a2-b2=c2=1，1a2+94b2=1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1.（2）∵PF2⊥x轴，∴不妨设P在x轴的上方，则P(c,y0)，y0>0.设Q(x1,y1)，∵P在椭圆上，∴c2a2+y02b2=1，解得y0=b2a，即P(c,b2a).∵F1(-c,0),∴由PQ=λPF1得x1-c=λ(-2c)，y1-b2a=-λb2a，解得x1=(1-2λ)c，y1=(1-λ)b2a，∴Q((1-2λ)c,(1-λ)b2a)，∵点Q在椭圆上，∴(1-2λ)2e2+(1-λ)2b2a2=1，即(1-2λ)2e2+(1-λ)2(1-e2)=1，∴(3λ-2)e2=2-λ，从而e2=2-λ3λ-2=-13+433λ-2，∵43≤λ≤32，∴15≤e2≤13，解得55≤e≤33，∴椭圆C的离心率的取值范围是[55,33].5 解题感悟解决圆锥曲线的问题时，“在上必代入”，即已知某点在椭圆上，要考虑将该点的坐标代入，这样能使待求的问题转化为已知或熟悉的问题.5