抛物线及其标准方程1.（2021江苏连云港高二期中）焦点为(0，2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x答案：A2.（2021北京延庆高二期中）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于Q，若|PF|=3，则线段PQ的长为()A.2B.2C.22D.32答案：C3.（2021江西南昌十中高二期中）若抛物线y2=2px(p＞0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于()A.2B.4C.6D.8答案：D4.（多选题）已知抛物线y2=10x，则下列说法中正确的是()A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)答案：B;D5.（2021北京人大附中高二期中）已知抛物线y2=-12x的焦点与双曲线x2a-y24=1的一个焦点重合，则a=()A.5B.13C.5D.25答案：C6.（2021山东泰安高二期中）已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=()A.1B.2C.2D.22答案：B5 7.（2021北京丰台高二期末）已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l.若|MF|=8，∠MFN=60∘，则p的值为()A.8B.4C.2D.1答案：B8.（2021安徽淮南一中高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，且l过点(-3,2)，M在抛物线C上，若点N(2,4)，则|MF|+|MN|的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案：D9.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.答案：（1）将双曲线的方程化为标准形式，可得其左顶点为(-3,0)，故可知抛物线的焦点为(-3,0)，由此设抛物线的标准方程为y2=-2px(p＞0)，则-p2=-3，得p=6，故抛物线的标准方程为y2=-12x.（2）由题意设抛物线的标准方程为y2=2nx(n≠0)，因为A(m,-3)在抛物线上，所以(-3)2=2 nm，由|AF|=5，得m+n2=5，解得n=1或9，所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.素养提升练10.（2021湖南长沙长郡中学高二期中）苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30 m，如图2，则此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为()A.180 mB.200 mC.220 mD.240 m5 答案：B解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=-2py(p＞0)，由题意设D(15,h)，B(30,h-150)，则152=-2ph,302=-2p(h-150),解得h=-50，p=2.25，所以此拋物线的顶端O到连桥AB的距离为50+150=200m.11.（多选题）已知抛物线E:x2=4y的焦点为F，圆C:x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是()A.点P的纵坐标的取值范围是(23,5)B.|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C.圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D.△PFN周长的取值范围是(8,10)答案：B;C;D解析：圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为(0，1)，半径r=4，与y轴正半轴的交点为(0,5).抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y=-1，5 联立圆的方程和抛物线的方程可得A，B两点的纵坐标均为3，所以点P的纵坐标yP∈(3,5)，故A中命题错误；由抛物线的定义可得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故B中命题正确；圆C的圆心到抛物线准线的距离为2，故C中命题正确；△PFN的周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+yP+1=yP+5∈(8,10)，故D中命题正确.12.（2021江西南昌江西师大附中高二期中）设F为抛物线x2=24y的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若F是三角形ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|=.答案：36解析：抛物线x2=24y的焦点为F(0,6)，准线方程为y=-6，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，由F是三角形ABC的重心得y1+y2+y33=6，所以y1+y2+y3=18，由抛物线的定义可知，|FA|+|FB|+|FC|=(y1+6)+(y2+6)+(y3+6)=36.创新拓展练13.某抛物线型拱桥水面的宽度20 m，拱顶离水面4 m，现有一船宽9 m，船在水面上高3 m.（1）建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程；（2）试问：这条船能否从桥下通过？请说明理由.命题分析本题考查了抛物线方程的求法，抛物线中在实际问题的应用.答题要领（1）设抛物线为x2=-2py，将(10,-4)代入即可求得p=252；（2）将x=92代入，求得对应的纵坐标，再结合船高与限高即可判断.详细解析（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴（向上）建立如图所示的平面直角坐标系.5 设拱桥所在抛物线的方程为x2=-2py(p＞0)，因为点(10,-4)在抛物线上，所以102=-2p⋅(-4)，解得p=252，所以拱桥所在抛物线的标准方程为x2=-25y.（2）当x=92时，y=-81100，所以此时限高为4-81100=319100＞3，所以能通过.解题感悟本题解题关键在于合理建立模型，根据待定系数法求解.5