抛物线的简单几何性质1.（2021北京朝阳高二期中）直线l过抛物线y2=2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2).若x1+x2=3，则弦AB的长是()A.4B.5C.6D.8答案：A2.（2021北京丰台高二期中）已知抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:y23-x2=1的一个焦点重合，则p=()A.2B.2C.25+1D.4答案：D3.（2021北京第五十五中学高二月考）已知抛物线y2=2px(p＞0)经过点M(2,y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=()A.2B.22C.4D.23答案：D4.已知抛物线y2=2px(p＞0),F为抛物线的焦点，O为坐标原点，A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，线段AB的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO的重心为F，则p=()A.1B.2C.3D.4答案：D5.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|=12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案：C6.如图，过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的方程为()5,A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x答案：C7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q.若|AB|=8，则|PQ|=.答案：4素养提升练8.（多选题）已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x=-4B.F点的坐标为(0，4)C.|FN|=12D.三角形ONF的面积为162（O为坐标原点）答案：A;C;D解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由题意可得抛物线的准线方程为x=-4，F点的坐标为(4，0)，则|AN|=4,|FF'|=8，故A正确，B错误；在直角梯形ANFF'中，中位线BM的长为|AN|+|FF'|2=6，由抛物线的定义得|MF|=|MB|=6，结合题意，有|MN|=|MF|=6，故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12，|ON|=122-42=82，S△ONF=12×82×4=162，故C、D正确.5,9.（2021山东济宁高二期末）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若A(-12,0)，则当|PA||PF|取最大值时,|PF|=()A.12B.1C.32D.2答案：B解析：因为点P为该抛物线上的动点，所以设点P的坐标为(y022,y0)，由题意知F(12,0)，抛物线的准线方程为x=-12，因此|PF|=y022-(-12)=y022+12，令|PF|=y022+12=t⇒y02=2t-1(t>12)，则|PA||PF|=(y022+12)2+y02y022+12=t2+2t-1t=1+2t-1t2=-(1t-1)2+2，当1t=1，即t=1时，|PA||PF|有最大值，最大值为2，此时|PF|=1.10.（多选题）已知抛物线x2=12y的焦点为F，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的有()A.点F的坐标为(18,0)B.若直线MN过点F，则x1x2=-116C.若MF=λNF，则|MN|的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58答案：B;C;D解析：易知点F的坐标为(0,18)，故A中结论错误；5,根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2=-p2=-116，故B中结论正确；若MF=λNF，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p=12，故C中结论正确；抛物线x2=12y的准线方程为y=-18，过点M，N，P分别作准线的垂线MM'，NN'，PP'，垂足分别为M'，N'，P'，所以|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32，所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-18=34-18=58，故D中结论正确.11.已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=()A.13B.23C.23D.223答案：D解析：设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，由y=k(x+2),y2=8x,消去y得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0，∴x1+x2=4(2-k2)k2，x1x2=4.由抛物线的定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，∵|FA|=2|FB|，∴x1+2=2x2+4⇒x1=2x2+2，代入x1x2=4得x22+x2-2=0，∴x2=1或x2=-2（舍去），∴x1=4，∴4(2-k2)k2=5，∴k2=89，∵k>0，∴k=223.12.过点(2,22)的抛物线C的对称轴是x轴，顶点在坐标原点，直线l:y=2x-2交抛物线C于A，B（A在B的上方）两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）试问：在抛物线AOB这段曲线上是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在，求出△PAB的最大面积；若不存在，请说明理由.答案：（1）由已知可设抛物线方程为y2=mx(m≠0)，把点(2,22)代入，得(22)2=2 m，解得m=4，所以抛物线的方程为y2=4x.5,（2）如图，由y=2x-2,y2=4x得x2-3x+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1=3+52，x2=3-52，x1+x2=3，所以y1=2x1-2=1+5，y2=2x2-2=1-5，所以|AB|=x1+x2+p=5.设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d=|2x0-y0-2|5=15|y022-y0-2|=125|(y0-1)2-5|，因为1-5＜y0＜1+5，所以当y0=1时，dmax=525=52，所以(S△PAB)max=12×35×52=154，当y0=1时，x0=14，即P(14,1)，所以存在点P(14,1)满足题意，此时△PAB的面积最大，为154.5