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19单调性的定义与证明课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

doc 2022-01-14 17:00:04 5页
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单调性的定义与证明[A级 基础巩固]1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是(  )A.y=|x|+2       B.y=3-xC.y=D.y=-x2+4解析:选A 因为-1<0,所以一次函数y=-x+3在R上递减,反比例函数y=在(0,+∞)上递减,二次函数y=-x2+4在(0,+∞)上递减.故选A.2.(多选)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是(  )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)解析:选AB 由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A、B正确;对于选项C、D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C、D不正确.3.函数f(x)=|x+2|在[-3,0]上(  )A.单调递减B.单调递增C.先减后增D.先增后减解析:选C 作出f(x)=|x+2|在(-∞,+∞)上的图像,如图所示,易知f(x)在[-3,0]上先减后增.4.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为(  )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定解析:选D 由函数单调性的定义,知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定.故选D.5 5.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则(  )A.f(3)<f(2)<f(1)B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(2)解析:选A 对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,则f(x)在R上是减函数.又3>2>1,则f(3)<f(2)<f(1).6.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是________.解析:当x≥1时f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).答案:(-∞,1)7.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为________.解析:由题设得解得-1≤x<.答案:8.若函数f(x)=8x2-2kx-7在[1,5]上为单调函数,则实数k的取值范围是________.解析:由题意知函数f(x)=8x2-2kx-7的图像的对称轴为x=,因为函数f(x)=8x2-2kx-7在[1,5]上为单调函数,所以≤1或≥5,解得k≤8或k≥40,所以实数k的取值范围是(-∞,8]∪[40,+∞).答案:(-∞,8]∪[40,+∞)9.判断并证明函数f(x)=-+1在(0,+∞)上的单调性.解:函数f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2>0,又由x1<x2,得x1-x2<0,5 于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.10.作出函数f(x)=的图像,并指出函数f(x)的单调区间.解:f(x)=的图像如图所示.由图可知,函数f(x)=的单调减区间为(-∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,+∞).[B级 综合运用]11.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上的两点,则-1<f(x)<1的解集是(  )A.(-3,0)B.(0,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)解析:选B 由已知,得f(0)=-1,f(3)=1,∴-1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3).∵f(x)在R上单调递增,∴0<x<3.12.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是(  )A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]解析:选D 依题意得实数a满足解得0<a≤2.13.设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为________.解析:由条件可得f(x)+f(-2)=f(-2x),又f(3)=1,∴不等式f(x)+f(-2)>1,即为f(-2x)>f(3).∵f(x)是定义在R上的增函数,∴-2x>3,解得x<-.故不等式f(x)+f(-2)>1的解集为. 答案:5 14.已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.试判断g(x)=f(x)+在(0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明.解:函数g(x)在(0,3]上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,3],且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=-=[f(x1)-f(x2)].因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x1)-f(x2)<0.又f(x)>0,f(3)=1,所以0<f(x1)<f(x2)≤f(3)=1,则0<f(x1)f(x2)<1,>1,即1-<0,所以g(x1)-g(x2)>0,g(x1)>g(x2).故g(x)=f(x)+在(0,3]上是减函数.[C级 拓展探究]15.已知函数f(x),g(x)在数集D上都有定义,对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,g(x1)≤≤g(x2)或g(x2)≤≤g(x1)成立,则称g(x)是数集D上f(x)的限制函数.(1)试判断函数g(x)=是否是函数f(x)=-在D=(0,+∞)上的限制函数;(2)设g(x)是f(x)在区间D1(D1⊆D)上的限制函数且g(x)在区间D1上的值恒正,求证:函数f(x)在区间D1上是增函数;(3)设f(x)=x2-2,试写出函数f(x)在D=(0,+∞)上的限制函数,并利用(2)的结论,求f(x)在D=(0,+∞)上的单调区间.解:(1)对任意0<x1<x2,因为<==<,所以f(x)在D=(0,+∞)上的限制函数为g(x)=.(2)证明:对于任意的x1,x2∈D1⊆D,当x1<x2时,5 因为g(x)在区间D1⊆D上恒为正值,所以g(x1)>0,g(x2)>0,由于g(x1)≤≤g(x2)或g(x2)≤≤g(x1)成立,所以0<,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在D1上是增函数.(3)设0<x1<x2,则=-=x1+x2-,所以2x1-<<2x2-,即g(x)=2x-.由g(x)=2x->0,解得x>,因而当x∈时,g(x)>0,f(x)递增,即f(x)的单调递增区间是;当x∈时,g(x)<0,f(x)递减,即f(x)的单调递减区间是.5

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