立体图形的直观图[A级　基础巩固]1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)A．90°，90°　　　　　　　B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°解析：选D　根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.故选D.2．(多选)利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是(　　)A．①B．②C．③D．④解析：选AB　水平放置的n边形的直观图还是n边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误．3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是(　　)解析：选A　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)A．2cmB．3cmC．2.5cmD．5cm解析：选D　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，5 在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5cm.故选D.5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm解析：选C　由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，知在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.6．关于斜二测画法，下列说法不正确的是________．①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变；②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的；③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°.答案：③7.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．解析：画出直观图(图略)，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.答案：8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．答案：矩形　89．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．5 解：(1)画x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1(A′在x′轴下方)，在y′轴正半轴上取点C′，使O′C′＝1，在x′轴正半轴上取点B′，使O′B′＝4，顺次连接O′，A′，B′，C′，如图①所示．(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段A′H、点H，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′，如图②所示．10．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．解：(1)如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm.(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.[B级　综合运用]11．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　)A.＋B．1＋5 C．1＋D．2＋解析：选D　法一：如图(1)所示，由直观图是一个底角为45°的等腰梯形O′D′C′B′可知，原图形是直角梯形(如图(2)所示)，根据题意，易知原图形上底长为1，下底长为1＋，高为2，故这个平面图形的面积是×(1＋1＋)×2＝2＋.法二：直观图是上底长为1，高为，下底长为1＋2×的梯形，故原平面图形的面积为×××＝2＋.12.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中(　　)A．AB与AC相等B．AD的长度大于AC的长度C．AB的长度大于AD的长度D．BC的长度大于AD的长度解析：选AC　因为A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A、C.13.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.答案：414．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．5 解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝2，AC＝，∴S▱ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.[C级　拓展探究]15．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．5