棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[A级　基础巩固]1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)A．48　　　　　　　B．64C．16D．96解析：选B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　)A．6B.C．2D．2解析：选B　由底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2.又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)A.　　B．2　　　C.　　D．3解析：选B　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥BA1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1的表面积为(　　)A.＋1B.＋1C.D.解析：选C　V四棱锥BA1ACC1＝AC·AA1·BC＝×AC·BC·AA1＝V三棱柱7 ABCA1B1C1，V三棱柱ABCA1B1C1＝AC·BC·AA1＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时取等号，即当AC＝BC＝时，V三棱柱ABCA1B1C1取得最大值，此时四棱锥BA1ACC1的体积最大．则此时三棱柱ABCA1B1C1的表面积为2×××＋×1＝.故选C.5．鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为(　　)A．8(6＋6＋)B．6(8＋8＋)C．8(6＋6＋)D．6(8＋8＋)解析：选A　由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为6×[4×(1＋)2－4×××]＋8××2×＝8(6＋6＋)．故选A.6．如图，三棱柱ABCA′B′C′的体积为1，则四棱锥CAA′B′B的体积是________．解析：∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.答案：7．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．7 解析：该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138.答案：90　1388．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，则它的深度为________cm.解析：设油槽的上、下底面积分别为S′，S.由V＝(S＋＋S′)h，得h＝＝＝75(cm)．答案：759.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2>V1.(1)求V1，V2以及V1∶V2；(2)求点A到平面A1BD的距离d.解：(1)截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2.底面ABD上的高为h＝AA1＝a.所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3.正方体的体积V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3.所以V1∶V2＝1∶5.(2)三棱锥A1ABD与三棱锥AA1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，如图，取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a，7 所以A1H＝＝＝a.其面积S2＝BD·A1H＝×a×a＝a2.因为VA1ABD＝VAA1BD，即a3＝S2·d，所以a3＝×a2×d，解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a.10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E1E＝3.所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.[B级　综合运用]11．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)A.B．2C.D.解析：选D　设正三棱柱的底面积为S，则VABCA1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E17 分别为其所在棱的中点，∴＝，即S△AFE＝S，∴S四边形BCFE＝S，∴VBCFEB1C1F1E1＝S×3＝S，∴图甲中水面的高度为.故选D.12．(多选)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是(　　)A．直三棱柱侧面积是4＋2B．直三棱柱体积是C．三棱锥EAA1O的体积为定值D．AE＋EC1的最小值为2解析：选ACD　在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABCAA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；如图，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥EAA1O的高为定值，S△AA1O＝×2＝，所以VEAA1O＝××＝，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝＝2，故D正确．13．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积为________．解析：如图所示，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，BD1＝9.故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，所以a2＝200，b2＝56.因为底面是菱形，所以AB2＝＋＝＝＝64，即AB＝8.7 所以该直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160，表面积为160＋2××＝160＋40.答案：160＋4014．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝V三棱锥CABE＝V三棱锥EABC＝×V四棱锥EABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.[C级　拓展探究]15．一个正三棱锥PABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？解：设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则＝，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝x，7 于是OO1＝h－PO1＝h－x＝h.所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·h＝(a－x)x＝.当x＝时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点，即A1，B1，C1分别是三条棱的中点．7