圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积[A级　基础巩固]1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.2πC2解析：选C　由2πR＝C，得R＝，所以S球＝4πR2＝.故选C.2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12πB．12πC．8πD．10π解析：选B　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.3．一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是(　　)A．12πcm3B．36πcm3C．64πcm3D．108πcm3解析：选B　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．4．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为(　　)A．8πB．16πC．24πD．32π解析：选A　由圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得SA2＝8，解得SA＝4.由SA与圆锥底面所成角为30°，可得圆锥的底面半径为2，圆锥的高为2.5 故该圆锥的体积为V＝×π×(2)2×2＝8π，故选A.5．圆台上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为5，则圆台的体积为(　　)A．40πB．52πC．50πD．π解析：选B　作出圆台的轴截面如图所示，上底面半径MD＝2，下底面半径NC＝6，过D作DE垂直NC，垂足为E，则EC＝6－2＝4，CD＝5，故DE＝3.即圆台的高为3，所以圆台的体积为V＝×3×(π×22＋π×62＋)＝52π.6．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.答案：96＋6π7．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为________．解析：设圆柱的高为h，则3×R3＝πR2·h，解得h＝4R.答案：4R8．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案：9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．5 解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴该球的表面积为4πr2＝4π＝π.[B级　综合运用]11．如图所示的粮仓可近似看成一个圆锥和一个圆台的组合体，且圆锥的底面与圆台的较大底面重合．已知圆台的较小底面的半径为1，圆锥与圆台的高分别为－1和3，则此组合体的外接球的表面积是(　　)A．16πB．20πC．24πD．28π解析：选B　设该组合体的外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面的圆心为O1，则OO＋12＝R2，而OO1＝－1＋3－R＝＋2－R，故R2＝1＋(＋2－R)2，所以R＝，所以该组合体的外接球的表面积S＝4πR2＝20π.12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为(　　)5 A.＋B．C.＋D．＋解析：选D　由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为＝，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为，所以球的最高点与“底座”底面的距离为＋1＋＝＋.故选D.13．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺．问：积及为菽各几何？”其意思为：“现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆多少斛？”已知圆周率约为3，1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.5立方尺，估算出堆放的大豆为________斛．解析：因为半圆锥的底面半圆的弧长为30尺，所以可得底面圆的半径r＝≈10(尺)．又半圆锥的高为7尺，所以半圆锥的体积V≈×3×100×7＝350(立方尺)，约为140斛，所以堆放的大豆约为140斛．答案：14014．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积．解：如图所示，圆柱的高O1O＝PO＝×＝×＝1，圆柱的底面半径r＝AO＝.所以圆柱的体积V＝πr2·O1O＝π××1＝.[C级　拓展探究]15．已知Rt△ABC中，C＝90°，分别以AC，BC，AB5 所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1，V2，V，试探究V1，V2，V之间的关系，并给出证明．解：＝＋.证明：如图，设AC＝b，BC＝a，作CH⊥AB于H，则AB＝.由射影定理，得AH＝，BH＝，CH2＝AH·BH＝.三个几何体分别是两个圆锥和组合体(有公共底面的圆锥组合体)，依题意，得V1＝πS1h1＝πa2b，V2＝S2h2＝πb2a，V＝π·CH2·AB＝π··＝π·，所以＋＝＝.5