平面与平面平行的性质[A级　基础巩固]1．两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是(　　)A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点解析：选A　根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行．故选A.2．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是(　　)A．平行或相交　　　　　B．相交或异面C．平行或异面D．平行、相交或异面解析：选D　当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．故选D.3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．故选D.4．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)A.⇒a∥bB.⇒a∥bC.⇒α∥βD．⇒a∥b解析：选AD　对于A，由平行线的传递性可知，A正确；对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能异面，故B不正确；对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故C不正确；6 对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确．5.如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　)A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：选A　如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.6．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确．答案：②7．六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是______．解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.答案：平行8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝______AC.6 解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC.∴MN綉AC.答案：9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明：如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则＝.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.10.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.证明：Q为BB1的中点．证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面α与这两个平面的交线互相平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边互相平行，于是△QBC∽△A1AD.所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．[B级　综合运用]11．(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法，其中说法正确的是(　　)6 A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APC解析：选BC　A项，MN∥AC，连接AM，CN(图略)，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；B项，将平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；C项，由BP＝BD1，以及B项知△APB∽△MPD1，所以A，P，M三点共线，是正确的；D项，将直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．12.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________．解析：∵平面α∥平面ABC，∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′.由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.∵△PAB∽△PA′B′，PA′∶AA′＝2∶3，∴＝＝，∴＝＝＝.答案：13．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是________，截面的面积是________．解析：如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，因为MN∥AD1，AD1∥BC1，故MN∥BC1，6 且MN＝BC1＝.则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为(＋2)×＝.答案：等腰梯形　14.如图，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，所以D1为线段A1C1的中点，所以D1C1＝A1C1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝1.[C级　拓展探究]15．在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)证明：l∥CD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，6 所以AB∥CD.又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.所以AB∥l，所以l∥CD.(2)存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.证明：如图，取PC的中点F，PE的中点M，连接FM.由于M为PE的中点，F为PC的中点，所以FM∥CE.由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点．连接BM，BD.设BD∩AC＝O，连接OE.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点．所以BM∥OE.又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB⊂平面BFM，CE，OE⊂平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.6