事件的相互独立性[A级　基础巩固]1．社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　由题意可知，甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为×＝，故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1－＝.故选C.2．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒．某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为(　　)A.B.C.D.解析：选C　由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.3．从甲袋中摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是(　　)A．2个球都是白球B．2个球都不是白球C．2个球不都是白球D．2个球恰好有1个白球解析：选C　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)7 A.B.C.D.解析：选D　由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．设P(A)＝x，P(B)＝y，则即∴x2－2x＋1＝，∴x－1＝－或x－1＝(舍去)，∴x＝.5．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．以上命题中，正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：选D　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝.因为P(AB)＝＝P(A)P(B)，所以A，B相互独立；因为P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A，C相互独立；因为P(BC)＝＝P(B)P(C)，所以B，C相互独立．6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.7 答案：0.267．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.098．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为事件，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．∴至少两颗卫星预报准确的概率为P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.答案：0.9029．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率．(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为1A3，于是所求概率为P(A3)＝××＝.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋1A2＋A3，由于事件A1，1A2，A3两两互斥，于是所求概率为P(A1＋1A2＋A3)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(A3)＝＋×＋××＝.10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，7 且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件A3，且这三次试跳相互独立．所以P(A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，则P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(3)记“甲在两次试跳中成功j次”为事件Mj(j＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功j次”为事件Nj(j＝0,1,2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，则所求的概率为P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝2×0.7×0.3×0.42＋0.72×2×0.6×0.4＝0.0672＋0.2352＝0.3024.所以甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.[B级　综合运用]11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)A.B.C.D.解析：选C　记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P()[1－P(AB)]＝××＝7 .所以灯亮的概率为1－＝.故选C.12．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.解析：∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()P(C)＝，∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，∴P(B)＝P()P(B)＝×＝.答案：　13．在某校运动会上，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)甲队获第一名且丙队获第二名的概率为________；(2)在该次比赛中甲队至少得3分的概率为________．解析：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)＝××＝.(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.答案：(1)　(2)14．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知7 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求P;(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解：记事件Ai表示“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，事件A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，事件B表示“电流能在M与N之间通过”．(1)＝123，A1，A2，A3相互独立，所以P()＝P()＝P()P()P()＝(1－P)3.又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，所以(1－P)3＝0.001，解得P＝0.9.(2)因为B＝A4＋A1A3＋A2A3，所以P(B)＝P(A4)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)·P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.[C级　拓展探究]15．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．解：(1)第四盘棋甲赢分两种情况．①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率P1＝×＝；②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率P2＝×＝.设事件A为“第四盘棋甲赢”，则P(A)＝P1＋P2＝＋＝.7 (2)若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况．①甲第三盘赢，此时的概率P3＝××＝；②甲第四盘赢，此时的概率P4＝××＝；③甲第五盘赢，此时的概率P5＝××＝.设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，则P(B)＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝.7