函数的概念(一)[A级　基础巩固]1．已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点(　　)A．有1个　　　　　　B．有2个C．有无数个D．至多有一个解析：选D　根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，故选D.2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)A.　　　B．{x|x≥－2}C.D.解析：选C　依题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C.3．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1，2}，那么A∩B一定是(　　)A．∅B．∅或{1}C．{1}D．无法确定解析：选B　由题意可知，当x2＝1时，x＝1或x＝－1；当x2＝2时，x＝或x＝－.所以集合A可分为含有一个、二个、三个或四个元素的集合，则A∩B＝∅或{1}．故选B.4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)A．1B．0C．－1D．2解析：选A　∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.5．设f(x)＝，则＝(　　)4 A．1B．－1C.D．－解析：选B　＝＝＝×＝－1.6．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围为________．解析：∵y＝的定义域为R，∴不等式ax2－4ax＋3>0的解集为R.①当a＝0时，3>0恒成立，满足题意；②当a≠0时，解得0<a<.∴实数a的取值范围为.答案：7．设f(x)＝，则f(f(x))＝________．解析：f(f(x))＝＝＝.答案：(x≠0，且x≠1)8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．解析：∵x＝1，2，3，4，5，且f(x)＝2x－3.∴f(x)的值域为{－1，1，3，5，7}．答案：{－1，1，3，5，7}9．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝＋＋4；(2)f(x)＝.解：(1)要使函数式有意义，必须满足即所以≤x≤，4 即函数的定义域为.(2)要使函数式有意义，必须满足即解得所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．10．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．(1)求f(2)，g(3)的值；(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，f(g(x))＝＝＝(x≠0)．[B级　综合运用]11．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)A．f(x)＝|x|　　　　　B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x解析：选ABD　在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．12．若函数y＝f(3x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤4}，则y＝f(x)的定义域是(　　)A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－5≤x≤13}C．{x|－5≤x≤1}D．{x|－1≤x≤13}解析：选B　函数y＝f(3x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤4}，则－2≤x≤4，则－6≤3x≤12，所以－5≤3x＋1≤13，所以函数y＝f(x)的定义域是{x|－5≤x≤13}．故选B.13．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的4 x<y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个．解析：由题得，当1、2对应7时，3对应8，4对应9；当1对应7时，2、3对应8，4对应9，当1对应7时，2对应8，3、4对应9，所以一共有3个．答案：314．探究是否存在函数f(x)，g(x)满足条件：(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．解：(1)存在，例如f(x)＝x，g(x)＝2x＋1，定义域和值域都是R，但对应关系不同．(2)存在，例如f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)，g(x)＝x2，x∈(－∞，0]，值域都是[0，＋∞)，但定义域不同．[C级　拓展探究]15．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1.(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.4