函数的单调性[A级　基础巩固]1．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1)　　　　　B．(－3，－1)C．(0，1)D．(1，3)解析：选BC　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3<x<3.又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1)．故选B、C.2．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)解析：选B　对于A，函数分别在(－∞，1)及[1，＋∞)上单调递增，但存在x1∈(0，1)，使f(x1)>f(1)，故A不符合题意；对于C，函数分别在(－∞，1)及(1，＋∞)上单调递增，但存在x1>1，使f(x1)<f(1)，故C不符合题意；对于D，函数分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但存在x1＝－1，x2＝1，使f(x1)<f(x2)，故D不符合题意；只有B符合题意，故选B.3．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)A．单调递减B．单调递增C．先减后增D．先增后减解析：选C　作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，5 易知f(x)在[－3，0]上先减后增．4．(2021·山东烟台高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，A(0，1)，B(2，－1)是其图象上的两点，则不等式|f(x－1)|>1的解集为(　　)A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选D　据题意可知f(0)＝1，f(2)＝－1.∵f(x)是R上的单调函数，∴f(x)在R上单调递减．由|f(x－1)|>1得，f(x－1)<f(2)或f(x－1)>f(0)．∴x－1>2或x－1<0，解得x>3或x<1.∴原不等式的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选D.5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　)A．f(1)<c<f(－2)B．c<f(－2)<f(1)C．c>f(1)>f(－2)D．f(1)>c>f(－2)解析：选D　二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)．6．已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图所示．根据图象写出y＝f(x)的单调递减区间为________．解析：由题图可知f(x)在[－2，6]上的单调递减区间为[－1，2]．答案：[－1，2]7．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝＝＝a＋，依题意有1－2a<0，即a>.5 答案：8．函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知解得<m<1.答案：9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．10．已知函数f(x)＝(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的单调递减区间．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．(2)由函数f(x)的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4]．[B级　综合运用]5 11．(多选)定义[x]为不大于x的最大整数，对于函数f(x)＝x－[x]有以下四个结论，其中正确的是(　　)A．f(2021.67)＝0.67B．在每一个区间[k，k＋1)(k∈Z)上，函数f(x)都是增函数C．f<fD．y＝f(x)的定义域是R，值域是[0，1)解析：选ABD　在A中，f(2021.67)＝2021.67－2021＝0.67，故选项A正确；在B中，任取x∈[k，k＋1)，则x＝k＋t，0≤t<1，因此f(x)＝k＋t－k＝t＝x－k是增函数，故选项B正确；在C中，f＝－－(－1)＝，f＝－0＝，而>，故选项C错误；在D中，显然f(x)的定义域为R，任取x∈[k，k＋1)(k∈Z)，则f(x)＝x－k∈[0，1)，故选项D正确．故选A、B、D.12．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)解析：选A　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.13．已知函数f(x)＝是减函数，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5]．答案：(－∞，5]14．已知函数f(x)＝.(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，5 则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，解得1<m<，所以m的取值范围为(1，)．[C级　拓展探究]15．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)证明：由题意知f(x)＝.∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1，∴实数a的取值范围为(0，1]．5