正、余弦函数的周期性与奇偶性[A级　基础巩固]1．函数f(x)＝x·cosx(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．为是非奇非偶函数解析：选A　f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，∴f(x)＝x·cosx为奇函数．2．函数f(x)＝2|sinx|的最小正周期为(　　)A．2π　　　　　　　　B.C．πD.解析：选C　∵sin(x＋π)＝－sinx，|sinx|＝|－sinx|，∴f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝2|sinx|的最小正周期为π.故选C.3．(多选)对于函数f(x)＝ax3＋bsinx＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是(　　)A．2和6B．3和9C．4和11D．5和13解析：选ABD　设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋bsinx，∵F(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＝－(ax3＋bsinx)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．∴F(－1)＝－F(1)．又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，因此f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A、B、D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确，因此选A、B、D.4．(多选)(2021·山东济南高一检测)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是(　　)A．y＝f(x)的解析式可改写为y＝4cosB．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数C．函数y＝f是奇函数5 D．y＝f的图象关于y轴对称解析：选ACD　A正确，f(x)＝4sin＝4cos＝4cos；B错误，由题意知T＝＝π；C正确，f＝4sin＝4sin2x，是奇函数；D正确，f＝4sin＝4cos2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，A、C、D正确．5．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)解析：选B　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.6．(2021·北京西城高一月考)设函数f(x)＝sin.若f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω的取值集合是________．解析：由题意可知，函数f(x)＝sin图象的对称轴方程为ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，结合题意有＝(k∈Z)，整理可得ω的取值集合是{ω|ω＝6k＋1，k∈Z}．答案：{ω|ω＝6k＋1，k∈Z}7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是________．解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sinx．∴f(x)＝sin|x|.答案：f(x)＝sin|x|8．设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．5 解析：因为f(a)＝a3cosa＋1＝11，所以a3cosa＝10，所以f(－a)＝－a3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－9.答案：－99．判断下列函数的奇偶性：(1)ƒ(x)＝coscos(π＋x)；(2)ƒ(x)＝＋.解：(1)∵x∈R，ƒ(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.∴ƒ(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－ƒ(x)．∴函数ƒ(x)是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0，1－sinx≥0.∴ƒ(x)＝＋的定义域为R.∵ƒ(－x)＝＋＝＋＝ƒ(x)，∴函数f(x)是偶函数．10．已知函数y＝sinx＋|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.[B级　综合运用]11．(2021·吉林五地六校高一质检)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)＋f(x)＝0，且y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称，f(3)＝4，则f(2021)＝(　　)A．0B．－45 C．－8D．－16解析：选B　函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，因此函数f(x)的周期T＝8.∵y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称，∴把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得到的y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象关于(0，0)对称，因此函数f(x)为奇函数．∴f(2021)＝f(252×8＋5)＝f(5)＝f(5－8)＝f(－3)＝－f(3)＝－4，故选B.12．已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．解析：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.答案：＋113．已知函数f(x)＝cos，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________．解析：由f(x)＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f(x)的对称中心是，k∈Z.答案：4π　，k∈Z14．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．解：由5cos＝，得cos＝.∵函数y＝cosx在每个周期内有两次出现函数值为，区间[a，a＋3]的长度为3，∴为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期且不大于4个周期．即2×≤3，且4×≥3.5 解得≤k≤.又∵k∈N，∴k＝2，3.[C级　拓展探究]15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥时x的取值范围．解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈时，f(x)＝sinx，∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又当x∈时，x＋π∈，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)如图．(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.又f(x)的周期为π，∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.5