两角和与差的正弦、余弦公式[A级　基础巩固]1．sin105°的值为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：选D　sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.2．(多选)下列叙述正确的为(　　)A．对于所有θ∈R，总有sin＝cosθB．存在α，β，满足sin(α－β)＝sinα－sinβC．存在α，β，满足sin(α＋β)＝sinα＋sinβD．对任意α，β，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ解析：选ABC　sin＝cosθ，A正确；存在α＝π，β＝π，满足sin(α－β)＝sinα－sinβ，B正确；存在α＝0，β＝，满足sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，C正确；对任意α，β，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，D不正确．故选A、B、C.3．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)A．[2，6]B．[－6，6]C．(2，6)D．[2，4]解析：选A　∵sinx＋cosx＝4－m，∴sinx＋cosx＝，∴sinsinx＋coscosx＝，∴cos＝.∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6.7 4．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：选B　由题意得sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．5．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则cosα＝(　　)A.B.C．－D．－解析：选B　∵0＜α＜，－＜β＜0，∴0＜α－β＜π.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵－＜β＜0，sinβ＝－，∴cosβ＝，∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝×－×＝.6．若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cosαcosβ－sinαcosβ－cosαsinβ－sinαsinβ＝________．解析：由题意知α＋β＝－，所以cosαcosβ－sinαcosβ－cosαsinβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)－sin(α＋β)＝2＝2sin＝2sin＝2sin＝7 .答案：7．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________，最小值为________．解析：因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－sinφcos(x＋φ)＝sinx，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.答案：1　－18．已知cosθ＝，则sin的值为________；sin的值为________．解析：因为cosθ＝，所以sinθ＝＝，所以sin＝sinθcos＋cosθsin＝×＝，sin＝sinθcos－cosθsin＝×－×＝.答案：　9．化简下列各式：(1)sin＋2sin－cos；(2)－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx7 ＝sinx＋cosx＝0.(2)原式＝＝＝＝.10．已知<α<，0<β<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．解：因为<α<，0<β<，所以－<－α<0，<＋β<π.所以sin＝－，cos＝－.所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝×－×＝.[B级　综合运用]11．已知函数f(x)＝xsin126°sin(x－36°)＋xcos54°·cos(x－36°)，则函数f(x)是(　　)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选B　因为函数的定义域为R，且f(x)＝xsin126°sin(x－36°)＋xcos54°cos(x－36°)＝xsin54°·sin(x－36°)＋xcos54°cos(x－36°)＝x[sin54°sin(x－36°)＋cos54°cos(x－36°)]＝xcos[54°－(x－36°)]＝xcos(90°－x)＝xsinx，所以任取x∈R，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．12．(2021·吉林五地六校高一联考)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)7 A.B．－C.D．－解析：选C　cos＝cos＝coscos＋sinsin，易知＋α∈，－∈，又cos＝，cos＝，所以sin＝，sin＝，则cos＝×＋×＝，故选C.13．“在△ABC中，cosAcosB＝________＋sinAsinB”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角．则实数a，b，c的大小关系是________．解析：由题意，横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0；当C是锐角时，－1<b＝cos(A＋B)<0；当C是钝角时，0<c＝cos(A＋B)<1.故b<a<c.答案：b<a<c14．(2021·浙江宁波高一月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．(1)求cos(α＋β)的值；(2)若α∈，β∈，求2α－β的值．解：(1)由A，B，得cosα＝，sinα＝，cosβ＝－7 ，sinβ＝，则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.(2)由已知得cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝－，sin2α＝sinαcosα＋cosαsinα＝.∵cos2α<0，α∈，∴2α∈.∵β∈，∴2α－β∈.∵sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×－×＝－，∴2α－β＝－.[C级　拓展探究]15．(2021·北京东城区高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，.(1)求tanβ的值；(2)求的值．解：(1)因为在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，，所以sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，所以tanβ＝＝＝－.(2)由(1)知sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，7 所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－＋＝－，所以＝＝＝＝＝.7